Direkt limesz (kategóriaelmélet)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a direkt limesz objektumok irányított rendszerének kategóriaelméleti értelemben vett kolimesze. Először adott algebrai struktúrák (pl. csoportok, modulusok) direkt limeszét definiáljuk, majd teljes általánosságban tetszőleges kategóriában is definiáljuk a direkt limesz fogalmát.

Definíció[szerkesztés]

Algebrai objektumok[szerkesztés]

Ebben a fejezetben objektumaink algebrai struktúrával ellátott halmazok mint pl. csoportok, gyűrűk, adott gyűrű fölötti modulusok, adott test fölötti algebrák, stb. Ennek szellemében "homomorfizmus" alatt mindig a megfelelő algebrai struktúrák közti homomorfizmust értjük (pl. csoportok esetében csoporthomomorfizmust). Először objektumok és homomorfizmusok direkt rendszerét definiáljuk. Ehhez tekintsünk egy irányított halmazt ( részbenrendezés -n és bármely két elemének létezik felső korlátja). Legyen algebrai objektumok családja, ahol irányított indexhalmaz és homomorfizmusok minden -re az alábbi tulajdonságokkal:

  1. az identitása, valamint
  2. fennáll minden esetén.

Ekkor az párt fölötti direkt rendszernek nevezzük.

Az direkt rendszer direkt limeszének alaphalmazát az halmazok diszjunkt uniójának az alábbi ekvivalenciareláció szerinti faktoraként definiáljuk:

Itt és ekvivalensek, , ha van olyan , melyre . Heurisztikusan két elem akkor és csak akkor esik egybe a direkt limeszben, ha egy idő után a direkt rendszerben is egybeesnek.

Ebből a definícióból azonnal adódnak a kanonikus morfizmusok, amelyek minden elemhez az -beli ekvivalenciaosztályát rendelik. Az algebrai műveleteket -n értelemszerűen definiáljuk, pl. .

Fontos megemlíteni, hogy az R-modulusok R-MOD kategóriájában a direkt limesz egzakt funktor.

Direkt rendszer direkt limesze tetszőleges kategóriában[szerkesztés]

A direkt limeszt tetszőleges kategóriában is definiálhatjuk egy megfelelő univerzális tulajdonság segítségével. -beli objektumok és morfizmusok direkt rendszere ugyanúgy definiálható, mint fent. Az direkt rendszer direkt limesze az pár, ahol , a kanonikus morfizmusokkal együtt, melyekre teljesül minden esetén.

Az pár univerzális abban az értelemben, hogy minden más ugyanezen feltételeknek eleget tevő párra egyértelműen létezik egy morfizmus, amely az alábbi diagramot minden -re kommutatívvá teszi:

DirectLimit-01.png

A direkt limeszt gyakoran az alábbi módon jelölik:

ahol a direkt rendszer továbbra is .

Az algebrai objektumok esetével ellentétben nem minden kategóriában létezik direkt limesz. Ha viszont létezik, akkor egyértelmű abban az erős értelemben, hogy ha és is direkt limesze ugyanannak a direkt rendszernek, akkor egyértelműen létezik egy izomorfizmus, ami a kanonikus morfizmusokkal kommutál.

Itt jegyezzük meg, hogy egy kategóriabeli direkt rendszer funktorokkal is leírható. Tetszőleges irányított halmaz tekinthető kis kategóriának, ahol a morfizmusok az nyilakból állnak: akkor és csak akkor, ha . A direkt rendszer nem más, mint egy kovariáns funktor.

Általános definíció[szerkesztés]

Legyenek és kategóriák. Jelölje az -be menő konstans funktort. Tetszőleges funktorhoz definiáljuk a

funktort, amely minden objektumhoz a természetes transzformációk halmazát rendeli. Ha reprezentálható, akkor a -beli reprezentáns objektumot F direkt limeszének nevezzük és szintén -fel jelöljük.

Legyen a kategória Abel, ahol objektumok tetszőleges (akár végtelen) direktösszege létezik (ez az AB3 Grothedieck axióma ). Ekkor a funktor reprezentálható minden funktorra és

Abel kategóriák közti jobbegzakt funktor.

Példák[szerkesztés]

  • Egy M halmaz részhalmazainak egy családján a tartalmazás részbenrendezés. Direkt limesze az unió: .
  • Let I be tetszőleges irányított halmaz, amelynek van legnagyobb eleme, legyen ez m. Ekkor a megfelelő direkt rendszer direkt limesze izomorf Xm-mel, a φm: XmX kanonikus morfizmus izomorfizmus.
  • Legyen p prímszám. Tekintsük a Z/pnZ csoportok és a p-vel való szorzás által indukált Z/pnZZ/pn+1Z homomorfizmusok direkt rendszerét. Ennek a rendszernek a direkt limesze az összes p-hatvány rendű egységgyök által alkotott Z(p) csoport.
  • A direkt limesz és az inverz limesz kapcsolata:
  • Tekintsük az {An, φn} sorozatot, ahol An C*-algebra és φn : AnAn + 1 *-homomorfizmus. A direkt limesz konstrukciójának C*-analogonja a fenti univerzális tulajdonságot kielégítő C*-algebra.

Kapcsolódó konstrukciók és általánosítások[szerkesztés]

A direkt limesz kategóriaelméleti értelemben vett duálisa az inverz limesz. Általánosabb kategóriaelméleti fogalmak a limesz és a kolimesz. Az elnevezés megtévesztő lehet: a direkt limesz kolimesz, míg az inverz limesz limesz.

Hivatkozások[szerkesztés]

Bourbaki, Nicolas (1968), Elements of mathematics. Theory of sets, Translated from the French, Paris: Hermann, Sablon:MathSciNet

Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, vol. 5 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag