Diszjunkt unió

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Matematikában, a diszjunkt unió két dolgot jelenthet:

  • Halmazelméletben, a diszjunkt unió egy unió művelet, ahol a diszjunkt uniót alkotó halmazoknak nincs közös eleme.
  • A valószínűségelméletben (vagy még általánosabban a méréselméletben) rendszerint a párosan előforduló, egymással közös részt nem alkotó entitásokat, halmazokat nevezik diszjunkt uniónak.

Halmazelméleti definíció[szerkesztés]

Formálisan legyen {Ai : iI} egy halmazcsalád I indexszel. Ennek a halmazcsaládnak a diszjunkt uniója:

A diszjunkt unió elemei (x, i) rendezett párok. Itt az i egy járulékos index, mely azt jelzi, mely Ai származik x-től. Minden egyes Ai kanonikusan beágyazódik a diszjunkt unióba:

ij-re, az Ai* és Aj* diszjunktak, még akkor is, ha Ai és Aj halmazok nem azok. Extrém esetben, amikor minden egyes Ai egyenlő egy valamilyen fix A halmazzal, minden egyes iI-re, a diszjunkt unió A és I Descartes-szorzata: esetenként ez a jelölés:

egy halmaz-család diszjunkt uniójára, vagy A + B, két halmaz diszjunkt uniójára.

Ez a jelölés emlékeztet arra a tényre, hogy a diszjunkt unió számossága, a család kifejezéseinek számosságának az összege.(Lásd még a halmaz család Descartes-szorzata).

A kategória-elmélet nyelvezetében a diszjunkt unió a halmazok kategóriájának kategória összege. Ezért ez kielégíti a kapcsolódó univerzális tulajdonságot. Ez azt is jelenti, hogy a diszjunkt unió kategória duálisa a Descartes-szorzat konstrukciónak.

Több oknál fogva, egy kiegészítő index partikuláris választása nem lényeges, és egy egyszerűsítő módszerben, az indexelt családot egyszerűen lehet kezelni, mint egy halmaz gyűjteményét.

Ez esetben egy másolatának tekinthető, és a jelölés használatos.

Valószínűségelméleti definíció[szerkesztés]

Legyen C egy páronként diszjunkt halmazok gyűjteménye. Ez azt jelenti, hogy a C-ben minden A≠B halmaz metszete üres, azaz AB = ∅. C ben az összes halmaz uniója, a halmazok diszjunkt uniója:

és így, a “diszjunkt unió” kifejezés egyszerűen rövidítése a “ halmazok uniójának, melyek páronként diszjunktak”.

Irodalom[szerkesztés]

  • Dancs István: Halmazelmélet. (hely nélkül): Aula Kiadó Kft. 2001. ISBN 9639345520  
  • Weisstein, Eric: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. (hely nélkül): CRC Press. 1999.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]