Iniciális és terminális objektumok

A kategóriaelméletben az iniciális és terminális objektumok egymás duális fogalmai.

Definíciók[szerkesztés]

Egy C kategóriában egy I objektum iniciális, ha C bármely X objektumából létezik pontosan egy $I \to X$ morfizmus.

Duálisan, egy T objektum terminális, ha bármely X objektumra létezik pontosan egy $X \to T$ morfizmus.

Ha egy objektum egyszerre iniciális és terminális, akkor zéró objektumnak mondjuk. Pontozott kategória alatt egy zéró objektummal ellátott kategóriát értünk.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Egy tetszőleges kategóriában nem feltétlenül léteznek iniciális és terminális objektumok. Viszont ha léteznek, akkor lényegében egyértelműek. Pontosabban, ha $I 1$ és $I 2$ két iniciális objektum, akkor létezik egy egyértelmű izomorfizmus. Megfordítva, ha $I$ iniciális objektum, akkor minden $I$ -vel izomorf objektum is iniciális. Ugyanez igaz a terminális objektumokra is.

Egy C kategória terminális objektumai definiálhatók az üres $0 \to C$ diagram limeszeként is. A terminális objektum tekinthető üres produktumnak is. (Valóban, az üres kategória diszkrét, azaz a morfizmusai pontosan az identitások, és a produktum egy diszkrét kategória felett vett limesz.) Duálisan, az iniciális objektum $0 \to C$ kolimesze, és tekinthető az üres koproduktumnak.

A fentiekből következik, hogy egy olyan funktor, ami limeszeket limeszekbe visz, a terminális objektumot terminális objektumba viszi; duálisan, egy kolimeszeket megőrző funktor az iniciális objektumot iniciális objektumba viszi.

Példák[szerkesztés]

A halmazok kategóriájában az üres halmaz iniciális, és bármely egyelemű halmaz terminális.
A csoportok kategóriájában a triviális csoport zéró objektum.
A kategóriák kategóriájában az üres kategória (azaz amiben sem objektumok, sem morfizmusok nincsenek) iniciális.

Kapcsolódó fogalmak[szerkesztés]

Zéró morfizmus

Források[szerkesztés]

Abstract and Concrete Categories. The joy of cats [archivált változat]. John Wiley & Sons (1990). ISBN 0-471-60922-6. Hozzáférés ideje: 2021. november 7. [archiválás ideje: 2015. április 21.]
Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician, 2nd, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag (1998). ISBN 0-387-98403-8

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben az Initial and terminal objects című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.