Cauchy–Riemann-egyenletek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízisben az

egyenleteket nevezzük Cauchy–Riemann-egyenleteknek, ahol u(x,y) és v(x,y) nyílt halmazon értelmezett, R-be képező parciálisan differenciálható kétváltozós valós függvények.

A C–R-egyenletek jelentőségére Riemann mutatott rá, amikor igazolta, hogy egy f = u + iv komplex függvény akkor és csak akkor differenciálható komplex módon egy z = x + i y pontban, ha

1. f totálisan differenciálható az (x,y) pontban mint kétváltozós függvény és
2. az u, v komponensfüggvények teljesítik a C–R-egyenleteket az (x,y) pontban.

Geometriai kényszer[szerkesztés]

Az f:C C holomorf függvény esetén f = f1 + if2 komplex differenciálhatósága a z = x + i y pontban a

komplex határérték létezését (a komplex derivált létezését) jelenti. Az f = f1 + i f2 komplex függvény felfogható f=(f1,f2 ): R2 R2 függvényeknek is. A kérdés, hogy az f kétváltozós függvény

Jacobi-mátrixának (deriválttenzorának) létezése milyen kapcsolatban van az f ' (z) komplex derivált létezésével.

Df(x,y) egy, a valós test feletti R2 R2 lineáris leképezés. Egy ilyen, valós test feletti, A lineáris operátor pontosan akkor komplex test feletti lineáris operátor, ha minden (x,y) vektorra . Lineáris leképezés révén ezt a feltételt elegendő a két szokásos bázisvektorra felírni: (1,0) ∈ R2-re és (0,1) ∈ R2-re. Már csak azt kell felhasználnunk, hogy az i-vel való szorzás R2-ben megfelel az mátrixszal való szorzásnak. Tehát a fenti feltétel ekvivalens az egyenlőséggel. A Jacobi-mátrixra alkalmazva ezt az egyenlőséget pont a C–R-egyenleteket kapjuk.

A komplex derivált kiszámítása[szerkesztés]

Az eredményhez a komplex derivált definíciójából is eljuthatunk, ha mindkét tengely irányából közelítve adjuk meg a derivált értékét. Legyen

f(z) = u(x, y) + i v(x, y)

és komplex differenciálható z-ben. Ekkor

Kifejeztük tehát a deriváltat a parciális deriváltakkal:

Hasonlóképpen:

A két irányból kapott értékeknek meg kell egyezniük, így

Két komplex szám pedig akkor és csak akkor egyenlő, ha valós és imaginárius részeik rendre egyenlők: