Burnside-probléma

A Burnside-problémát, mely a csoportelmélet egyik legrégibb és legnyugtalanítóbb problémája, 1902-ben fogalmazta meg William Burnside angol matematikus.

Burnside a következő kérdést tette fel: egy végesen generált csoport, melynek minden eleme véges rendű, szükségképpen véges csoport-e, vagy sem. A problémának több variánsát felvetették, melyekben a csoportokra vonatkozó feltételeket variálták meg.

Története

A kezdeti felvetés pozitív választ várt. Például, ha a G csoportot m elem generálja, és minden elem rendje osztója négynek, akkor G véges. Sőt, A. I. Kostrikin és Efim Zelmanov eredményei szerint adott exponensre és adott generátorszámra egyértelmű a legnagyobb csoport.

Az általános kérdésre a válasz negatív. 1964-ben készült az első ellenpélda. A korlátos elemrendekre vonatkozó sejtést 1968-ban cáfolta meg Pjotr Novikov és Szergej Adian a 4381-nél nagyobb páratlan exponensekre. 1982-ben A. Yu. Ol'sanszkij ténylegesen talált ellenpéldát, amiben a kitevők nagyobbak voltak, mint 10¹⁰, és geometriai gondolatmenetet használva leegyszerűsítette a bizonyítást.

Páros kitevőkre már nehezebbnek bizonyult a feladat. 1992-ben S. V. Ivanov kinyilvánította, hogy ellenpéldát talált nagy kettőhatványokkal osztható elég nagy exponensekkel. A részletes bizonyítások 1994-ben jelentek meg 300 oldalon.

A hiperbolikus csoportok olyan csoportok, amik elláthatók szómetrikával úgy, hogy a csoport eleget tegyen a hiperbolikus geometria bizonyos tulajdonságainak. Ilyenek például a véges, és a végesen generált csoportok. Ol'sanszkij és Ivanov közös erővel cáfolta a Burnside-problémát a hiperbolikus csoportokra is. A 2, 3, 4-től és a 6-tól különböző kis kitevők ellenben még nem ismertek.

Torziócsoportok

Egy G csoport torziócsoport, ha minden eleme véges rendű, más szóval, ha minden egyes g elemére van n_g, hogy g^n_g=1. A rend definíciója miatt minden véges csoport torziócsoport. Léteznek végtelen torziócsoportok is, például a p^∞-Prüfer-csoportok. A p-Prüfer-csoportok értelmezhetők a p-hatványadik egységgyökök multiplikatív csoportjaként. Könnyen látható a szerkezetük, de nem generálhatók véges sok elemmel.

A kérdés: Ha G végesen generált torziócsoport, akkor szükségképpen véges? Erre a kérdésre Evgeny Golod és Igor Safarevics nemleges választ adott 1964-ben. Az általuk adott ellenpélda egy végtelen p-csoport volt, amiben az elemek rendjei nem korlátosak. Ez újabb kérdést vetett fel.

Korlátos Burnside-probléma

Jevgenyij Golod és Igor Safarjevics ellenpéldája újabb kérdést vetett fel, ugyanis ebben az ellenpéldában az egyes elemek rendjei nem voltak közös korlát alatt.

Tegyük fel, hogy a G csoportban az egyes elemrendek korlátosak! Ekkor lesz egy olyan m hatvány, amire emelve minden elem a csoport egységelemét adja ^[forrás?]. A legkisebb ilyen m szám a csoport exponense.

A korlátos Burnside-probléma ezt kérdezi: Ha G egy n elemmel generált m exponensű csoport, akkor G szükségképpen véges?

A kérdéssel foglalkozva kiderül, hogy a probléma valójában egy végességi probléma. A B(n,m) szabad Burnside-csoportot n elem generálja, és minden g ∈ B(n,m)-re g^m = 1, és B(n,m) a legnagyobb ilyen. Precízebben, ha G n elemmel generált m exponensű csoport, akkor van egy egyértelmű homomorfizmus, ami B(n,m) i-edik generátorát G i-edik generátorának felelteti meg. A csoportreprezentáció nyelvén: a B(n,m) szabad Burnside-csoport m generátorral adott, és w^m=1 teljesül minden w szóra, és minden más csoport ebből kapható további relációk hozzávételével. A szabad Burnside-csoport létezése és (izomorfia erejéig) egyértelműsége következik az elemi csoportelmélet eredményeiből. Tehát, ha G n elemmel generált m exponensű véges csoport, akkor homomorf képe a szabad Burnside-csoportnak. Ezt felhasználva a probléma a következő alakot ölti:

Mely n, m-re lesz a B(n,m) csoport véges?

Maga Burnside elintézte a legegyszerűbb eseteket:

• n=1-re B(n,m) az m-edrendű ciklikus csoport.
• B(n,2) n darab 2 rendű ciklikus csoport direkt szorzata, ezért Abel.

Burnside, Sanov, M. Hall közös eredménye:

• B(n,3), B(n,4) és B(n,6) véges minden n-re.

B(2,5)-ről a 2005-ös állapotok szerint még azt sem lehet tudni, hogy véges-e.

Az igazi áttörést Pjotr Novikov és Szergej Adian érte el 1968-ban. Bonyolult kombinatorikai gondolatmenettel mutatták meg, hogy minden m > 4381-re van végesen generált végtelen m exponensű csoport. Adian később az alsó korlátot 665-re javította a páratlan kitevőkre. A páros kitevők esete bonyolultabbnak bizonyult: 1992-ig kellett várni, hogy Szergej Vaszilijevics megoldja az analóg problémát. Eredményei szerint minden n > 1-re, és m ≥ 2⁴⁸-re, ami osztható 2⁹-nel, a B(n,m) csoport végtelen lesz. Novikov, Adian és Ivanov is részletesebb jellemzést adott ezekről a csoportokról. Páratlan exponens esetén az összes véges részcsoport ciklikus; páros exponens esetén minden véges részcsoport részcsoportja két diédercsoport direkt szorzatának, így vannak nem ciklikus véges részcsoportok is. Sőt, a B(n,m) csoportokban a szóprobléma hatékonyan eldönthető.

A Tarski-féle monster csoportok egy híres ellenpéldát adó sorozat, amiben minden véges valódi részcsoport ciklikus, míg maga az egész csoport nem ciklikus. Az első példákat A. Yu. Ol'sanszkij konstruálta 1979-ben geometriai módszerekkel, igenlő választ adva O. Yu. Schmidt kérdésére. 1982 Ol'sanszkij megerősítette a saját eredményeit, miszerint minden elég nagy p prímre (nagyobb, mint 10⁷⁵) van végesen generált végtelen csoport, amiben minden valódi véges részcsoport p rendű ciklikus csoport. Egy 1996-ban megjelent cikkükben Ivanov és Ol'sanszkij hiperbolikus csoportokra is megoldotta a Burnside-problémát elég nagy exponensekre.

Korlátozott Burnside-probléma

Az 1930-ban felvetődött korlátozott Burnside-probléma azonban bebizonyosodott:

Ha tudjuk, hogy egy n elemmel generálható m exponensű csoport véges, akkor megbecsülhető-e G rendje csak n és m függvényében? Ekvivalensen, izomorfizmus erejéig véges sok m exponensű véges csoport generálható-e n elemmel?

Egy csoport exponense a legkisebb nem negatív szám, amely hatványra emelve a csoport összes eleme a csoport egységelemét adja.

A csoportelmélet alapvető eredményei szerint két véges indexű részcsoport metszete szintén véges indexű részcsoport lesz. Legyen M a szabad B(n,m) Burnside-csoport véges indexű részcsoportjainak metszete; ekkor M normálosztó B(n,m)-ben. Jelölje B₀(n,m) a B(n,m)/M faktorcsoportot; ekkor minden n generátorú, m exponensű véges csoport B₀(n,m) homomorf képe lesz. A korlátozott Burnside-probléma azt kérdezi, hogy ez a csoport véges-e.

A kérdést A. I. Kostrikin behatóan tanulmányozta az 1950-es években prím exponensekre. B₀(m,p) végességére vonatkozó eredménye felhasználta a Lie-algebrák azonosságainak mély eredményeit. Efim Zelmanov az eredményeket kiterjesztette tetszőleges exponensre, amely eredménye 1994-ben Fields-érmet nyert.

Források

• S. I. Adian (1979) The Burnside problem and identities in groups. Oroszból fordította John Lennox és James Wiegold. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Results in Mathematics and Related Areas], 95. Springer-Verlag, Berlin-New York. ISBN 3-540-08728-1.
• S. V. Ivanov (1994) "The free Burnside groups of sufficiently large exponents," Internat. J. Algebra Comput. 4.
• S. V. Ivanov, A. Yu. Ol'shanskii (1996) "Hyperbolic groups and their quotients of bounded exponents," Trans. Amer. Math. Soc. 348: 2091-2138.
• A. I. Kostrikin (1990) Around Burnside. Oroszból fordítva James Wiegold előszavával. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 20. Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-50602-0.
• A. Yu. Ol'shanskii (1989) Geometry of defining relations in groups. Translated from the 1989 Russian original by Yu. A. Bakhturin (1991) Mathematics and its Applications (Soviet Series), 70. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. ISBN 0-7923-1394-1.
• E. Zelmanov (1990). „Solution of the restricted Burnside problem for groups of odd exponent” (orosz nyelven). Izv. Akad. Nauk SSSR 54 (1), 42–59, 221. o.  Translation in (1991) „SOLUTION OF THE RESTRICTED BURNSIDE PROBLEM FOR GROUPS OF ODD EXPONENT”. Math. USSR-Izv. 36 (1), 41–60. o. DOI:10.1070/IM1991v036n01ABEH001946. 
• E. Zelmanov (1991). „Solution of the restricted Burnside problem for 2-groups” (orosz nyelven). Mat. Sb. 182 (4), 568–592. o.  Translation in (1992) „A SOLUTION OF THE RESTRICTED BURNSIDE PROBLEM FOR 2-GROUPS”. Math. USSR-Sb 72 (2), 543–565. o. DOI:10.1070/SM1992v072n02ABEH001272.