Abel-teszt

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A matematikában, az Abel-teszt (Abel-kritériumnak is hívják) módszer a véges sorok konvergenciájának. A tesztet Niels Henrik Abel matematikusról nevezték el.

Két kissé különböző változat létezik, az egyik valós számok sorozatára, a másik a komplex analízisben a hatványsorokra használható.

Abel-teszt a valós analízisben[szerkesztés]

Ha a következő állítások igazak:

1. egy konvergens sorozat
2. {} egy monoton sorozat
3. {} korlátos,

akkor konvergens.

Abel-teszt a komplex analízisben[szerkesztés]

Az Abel-tesztet gyakran hatvány-sorok – egy konvergencia körön belüli - konvergenciájának megállapítására használják. Az Abel-teszt az állítja, hogy ha

és a

sorozat

konvergál, ha |z| < 1 és divergál ha |z| > 1, továbbá a {an} együtthatók pozitív valós számok, monoton csökkennek a zéró határérték felé n > m esetén (azaz, ha n elég nagy), akkor az f(z) függvény konvergál mindenhol egy egységnyi körön belül, kivéve, amikor z = 1.

Az Abel-teszt nem alkalmazható, amikor z = 1, úgy, hogy ebben a speciális pontban külön kell vizsgálni a konvergenciát.

Megjegyzendő, hogy az Abel-teszt olyan hatvány sorokra is alkalmazható, ahol a konvergencia sugara R ≠ 1, egy egyszerű változó cserével: ζ = z/R.[1]

Az Abel-teszt bizonyítása[szerkesztés]

Tegyük fel, hogy z egy egységnyi körben egy pont, és z ≠ 1. Ekkor

így, bármely két pozitív egészre p > q > m, írhatjuk, hogy

ahol Sp és Sq részleges szummák:

Mivel |z| = 1 és a an monoton csökkenő pozitív valós számok ha n > m, akkor írhatjuk:

Most alkalmazhatjuk a Cauchy-konvergenciakritériumot annak megállapítására, hogy f(z) konvergál a kiválasztott pontnál z ≠ 1, mert sin(½θ) ≠ 0 egy állandó mennyiség, és aq+1 kisebb lesz bármely adott ε > 0 –nál, ha q elég nagy.

Irodalom[szerkesztés]

  • Gino Moretti: Functions of a Complex Variable. (hely nélkül): Prentice-Hall, Inc. 1964.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. (Moretti, 1964, p. 91)