Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között

A tétel azt állítja, hogy a háromszögben a legnagyobb oldallal szemközt van a legnagyobb szög. A tétel megfordítása is igaz, vagyis a legnagyobb szöggel szemközti oldal a legnagyobb.

A tétel a koszinusztétel egy változatának tekinthető.

Tétel a háromszögek leghosszabb oldaláról

Minden háromszögben a legnagyobb oldallal szemben a legnagyobb szög van.

Bizonyítás:

Felhasználjuk, hogy egyenlő oldallal szemben egyenlő szögek vannak. Legyen $AC<BC$, $AC$ szakaszt felmérjük $C$-ből $BC$-re, így kapjuk a $B'$ pontot. $AB'C$ háromszög egyenlő szárú, szögei $\delta$. $\delta <\alpha$, mert $AB'$ szögszár a $CAB$ szög belsejében halad. $\beta <\delta$, mert az $AB'B$ háromszög $B'$ csúcsánál lévő külső szöge. $\longrightarrow \beta <\alpha$.

A tétel megfordítása

Minden háromszögben a legnagyobb szöggel szemben a legnagyobb oldal van.

Bizonyítás (indirekt módon):

$ABC$ háromszögben legyen $\beta <\alpha$. Tegyük fel, hogy $AC<BC$ nem igaz, azaz $AC\geq BC$. Ha így lenne, akkor vagy azonos szög vagy nagyobb szög lenne, de ez ellentmond a feltevésnek. Tehát rossz volt a $AC\geq BC$ állítás, így $AC<BC$.

A háromszög szögeinek kiszámítása oldalaiból

A koszinusztétel szerint tetszőleges háromszögben

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

A γ szög szinusza:

$\sin \,\gamma \ ={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}}{2ab}}$

A szinuszos képlet alkalmazása esetén figyelembe kell venni, hogy a háromszögben a nagyobb szöggel szembeni oldal nagyobb.

Kapcsolódó szócikkek

• Háromszög
• Hérón-képlet
• Általános magasságtétel