Zéta-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Zéta-eloszlás:valószínűségi tömeg függvény
Zéta-eloszlás:kumulatív eloszlás függvény

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén a zéta-eloszlás egy diszkrét valószínűség eloszlás. [1]

Ha X egy zéta-eloszlású valószínűségi változó, s paraméterrel, akkor annak a valószínűségét, hogy X felveszi a k egész értéket, a valószínűségi tömeg függvény adja meg:

f_s(k)=k^{-s}/\zeta(s)\,

ahol ζ(s), a Riemann zéta-függvény (mely nem definiált s = 1 esetén). A zéta-eloszlás ekvivalens a Zipf-eloszlással, végtelen N-re.

A ‘zéta-eloszlás’t, és a ‘Zipf-eloszlás’t gyakran felcserélik.

Momentumok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az n-ik nyers momentum definíciója, ahol Xn, a várható érték:

m_n = E(X^n) = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{s-n}}

A jobboldalon látható sor, éppen a Riemann zéta-függvény, de az csak s-n-hez konvergál. Így:

m_n =\left\{
\begin{matrix}
\zeta(s-n)/\zeta(s) & \textrm{for}~n < s-1 \\
\infty & \textrm{for}~n \ge s-1
\end{matrix}
\right.

Megjegyezzük, hogy a zéta-függvény jól definiált, még n ≥ s − 1 esetben is, mert a sor analitikusan folytatható. Ez nem változtat azon a tényen, hogy a momentumot maga a sor definiálja, és ezért nagy n-re nem definiált.

Momentum generáló függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíció szerint:

M(t;s) = E(e^{tX}) = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{tk}}{k^s}.

A sor éppen a polilogaritmus definíciója, mely e^t<1 esetben érvényes, így:

M(t;s) = \frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}\text{ for }t<0.

A függvény Taylor-soros kiterjesztése nem eredményezi szükségszerűen az eloszlás momentumát. A momentumot használó Taylor-sor előfordul a momentum generáló függvényben

\sum_{n=0}^\infty \frac{m_n t^n}{n!},

mely nyilvánvalóan nem jól definiált s bármely véges értékére, mert a momentum végtelen lesz nagy n-eknél. Ha az analitikusan folytatódó kifejezést használjuk a momentum helyett, akkor a polilogaritmus sorba fejtett változatát kapjuk:

\frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=0,n\ne s-1}^\infty \frac{\zeta(s-n)}{n!}\,t^n=\frac{\operatorname{Li}_s(e^t)-\Phi(s,t)}{\zeta(s)}

ha \scriptstyle |t|\,<\,2\pi. \scriptstyle\Phi(s,t) :


\Phi(s,t)=\Gamma(1-s)(-t)^{s-1}\text{ for }s\ne 1,2,3\ldots
\Phi(s,t)=\frac{t^{s-1}}{(s-1)!}\left[H_s-\ln(-t)\right]\text{ for }s=2,3,4\ldots
\Phi(s,t)=-\ln(-t)\text{ for }s=1,\,

ahol Hs egy harmonikus szám.

Az s = 1 esete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

ζ(1) végtelen, mint a harmonikus sor, és így s = 1 esetének nincs értelme. Azonban, ha A bármely halmaza pozitív egészeknek, melynek van sűrűsége, például, ha

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{N(A,n)}{n}

létezik, ahol N(An) A tagjainak száma, kisebb vagy egyenlő n, akkor

\lim_{s\rightarrow 1+}P(X\in A)\,

egyenlő a sűrűséggel. Ez utóbbi határérték létezhet, akkor is, ha A-nak nincs sűrűsége. Ha például, A egy olyan pozitív egészekből álló halmaz, ahol d az első szám, akkor annak ellenére, hogy a fentebbi második limit létezik, és arányos

\log(d+1) - \log(d),\,

mely hasonló a Benford-törvénnyel.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]