Zéta-eloszlás

Zéta-eloszlás:valószínűségi tömeg függvény

Zéta-eloszlás:kumulatív eloszlás függvény

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén a zéta-eloszlás egy diszkrét valószínűség eloszlás.

Ha X egy zéta-eloszlású valószínűségi változó, s paraméterrel, akkor annak a valószínűségét, hogy X felveszi a k integer értéket, a valószínűségi tömeg függvény adja meg:

$f_s(k)=k^{-s}/\zeta(s)\,$

ahol ζ(s), a Riemann zéta-függvény (mely nem definiált s = 1 esetén). A zéta-eloszlás ekvivalens a Zipf-eloszlással, végtelen N-re.

A ‘zéta-eloszlás’t, és a ‘Zipf-eloszlás’t gyakran felcserélik.

Momentumok

Az n-ik nyers momentum definíciója, ahol Xⁿ, a várható érték:

$m_n = E(X^n) = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{s-n}}$

A jobboldalon látható sor, éppen a Riemann zéta-függvény, de az csak s-n-hez konvergál. Így:

$m_n =\left\{ \begin{matrix} \zeta(s-n)/\zeta(s) & \textrm{for}~n < s-1 \\ \infty & \textrm{for}~n \ge s-1 \end{matrix} \right.$

Megjegyezzük, hogy a zéta-függvény jól definiált, még n ≥ s − 1 esetben is, mert a sor analitikusan folytatható. Ez nem változtat azon a tényen, hogy a momentumot maga a sor definiálja, és ezért nagy n-re nem definiált.

Momentum generáló függvény

Definíció szerint:

$M(t;s) = E(e^{tX}) = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{tk}}{k^s}.$

A sor éppen a polilogaritmus definíciója, mely $e^t<1$ esetben érvényes, így:

$M(t;s) = \frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}\text{ for }t<0.$

A függvény Taylor-soros kiterjesztése nem eredményezi szükségszerűen az eloszlás momentumát. A momentumot használó Taylor-sor előfordul a momentum generáló függvényben

$\sum_{n=0}^\infty \frac{m_n t^n}{n!},$

mely nyilvánvalóan nem jól definiált s bármely véges értékére, mert a momentum végtelen lesz nagy n-eknél. Ha az analitikusan folytatódó kifejezést használjuk a momentum helyett, akkor a polilogaritmus sorba fejtett változatát kapjuk:

$\frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=0,n\ne s-1}^\infty \frac{\zeta(s-n)}{n!}\,t^n=\frac{\operatorname{Li}_s(e^t)-\Phi(s,t)}{\zeta(s)}$

ha $\scriptstyle |t|\,<\,2\pi$. $\scriptstyle\Phi(s,t)$ :

$\Phi(s,t)=\Gamma(1-s)(-t)^{s-1}\text{ for }s\ne 1,2,3\ldots$

$\Phi(s,t)=\frac{t^{s-1}}{(s-1)!}\left[H_s-\ln(-t)\right]\text{ for }s=2,3,4\ldots$

$\Phi(s,t)=-\ln(-t)\text{ for }s=1,\,$

ahol H_s egy harmonikus szám.

Az s = 1 esete

ζ(1) végtelen, mint a harmonikus sor, és így s = 1 esetének nincs értelme. Azonban, ha A bármely halmaza pozitív integereknek, melynek van sűrűsége, például, ha

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{N(A,n)}{n}$

létezik, ahol N(A, n) A tagjainak száma, kisebb vagy egyenlő n, akkor

$\lim_{s\rightarrow 1+}P(X\in A)\,$

egyenlő a sűrűséggel. Ez utóbbi határérték létezhet, akkor is, ha A-nak nincs sűrűsége. Ha például, A egy olyan pozitív integerekből álló halmaz, ahol d az első szám, akkor annak ellenére, hogy a fentebbi második limit létezik, és arányos

$\log(d+1) - \log(d),\,$

mely hasonló a Benford-törvénnyel.

Irodalom

• Pierre-Simon de Laplace. Analytical Theory of Probability (1812) 
• Andrej Nyikolajevics Kolmogorov. Foundations of the Theory of Probability (1950) 
• Patrick Billingsley. Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons (1979) 
• Olav Kallenberg; Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2
• Henk Tijms. Understanding Probability. Cambridge Univ. Press (2004) 
• Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Gut, Allan. Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag (2005). ISBN 0387228330 
• Horváth Gézáné: Kvantitatív módszerek I.Fejezetek a valószínűség-számításból. PERFEKT ZRT. 2005. ISBN 9789633945902

Kapcsolódó szócikkek

• Zipf-törvény
• Diszkrét eloszlás
• Léyy-eloszlás
• Pareto-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűség-számítás
• Statisztika
• Taylor-sor
• Zipf–Mandelbrot-törvény
• Benford-törvény
• Polilogaritmus
• Integer