Lévy-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén a Lévy-eloszlás olyan folytonos valószínűség-eloszlás, mely nem negatív valószínűségi változókra érvényes.

Az eloszlás Paul Pierre Lévy francia matematikusról kapta a nevét.

A Lévy-eloszlás az inverz gamma-eloszlás speciális esete.

A Lévy-eloszlás azon kevés eloszlások közé tartozik, melyeket stabil eloszlásnak neveznek. Ilyenek még a normális eloszlás, és a Cauchy-eloszlás, melyeknek általában nincs analitikusan kifejezhető valószínűség sűrűségfüggvényük.

Sűrűségfüggvény különböző c-kre

Alkalmazása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Geomágneses jelenségek közel Lévy-eloszlást követnek
  • A Brown mozgáskor egy pont Lévy-eloszlás szerint mozog
  • Zavaros közegben egy foton pályája Lévy-eloszlást mutat [1]

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A sűrűségfüggvény a x\ge \mu tartományban:

f(x;\mu,c)=\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~~\frac{e^{ -\frac{c}{2(x-\mu)}}} {(x-\mu)^{3/2}}

ahol \mu a helyparaméter, és c a skálaparaméter. A kumulatív eloszlásfüggvény:

F(x;\mu,c)=\textrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x-\mu)}}\right)

ahol \textrm{erfc}(z) a hibafüggvény.

A \mu helyparaméter hatására a görbe \mu értékkel eltolódik jobbra. A Lévy-eloszlásnak, mint minden stabil eloszlásnak, van egy standard formája f(x;0,1), melynek a következő jellemző tulajdonsága van:

f(x;\mu,c)dx = f(y;0,1)dy\,

ahol y:

y = \frac{x-\mu}{c}\,

A karakterisztikus függvény:

\varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}.

A stabil eloszlásoknál a karakterisztikus függvényt \alpha=1/2, és \beta=1 esetekre fel lehet írni:

\varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~\textrm{sign}(t))}.

Feltételezve, hogy a \mu=0, az nik momentum az eltolatlan Lévy-eloszlásnál:

m_n\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\int_0^\infty \frac{e^{-c/2x}\,x^n}{x^{3/2}}\,dx

mely divergál minden n> 0 esetében, így a Lévy-eloszlás momentumai nem léteznek. A momentum generáló függvény:

M(t;c)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\int_0^\infty \frac{e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}\,dx

mely t>0-nál divergál, ezért nem definiálható zéró közeli tartományokban, és ezért nem definiálható saját magában. Mint minden stabil eloszlásnál, kivéve a normális eloszlást, a sűrűségfüggvény “szárnyai” viselkedése:

\lim_{x\rightarrow \infty}f(x;\mu,c) =\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~\frac{1}{x^{3/2}}.

Ezt az alábbi ábra mutatja, ahol a sűrűségfüggvény látható különböző c és \mu=0 értékek mellett, log-log ábrázolásban:

Sűrűségfüggvény különböző c értékeknél

Kapcsolódó eloszlások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jellemzők[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Tartomány =x \in [\mu, \infty)
  • Sűrűségfüggvény =\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~~\frac{e^{-\frac{c}{2(x-\mu)}}}{(x-    \mu)^{3/2}}
  • Kumulatív eloszlás f. =\textrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x-\mu)}}\right)
  • Várható érték =\infty
  • Medián =c/2(\textrm{erfc}^{-1}(1/2))^2\,, for \mu=0
  • Módusz =\frac{c}{3}, for \mu=0
  • Szórásnégyzet =\infty
  • Ferdeség =nem definiált
  • Lapultság = nem definiált
  • Entrópia =\frac{1+3\gamma+\ln(16\pi c^2)}{2}

ahol \gamma az Euler-állandó

  • Momentgeneráló függvény = nem definiált
  • Karakterisztikus függvény=e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1. * Rogers, Geoffrey L: Multiple path analysis of reflectance from turbid media. (hely nélkül): Journal of the Optical Society of America A, 25:11. 2008 2879–2883. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Rogers, Geoffrey L, Multiple path analysis of reflectance from turbid media. Journal of the Optical Society of America A, 25:11, p 2879-2883 (2008).