Lévy-eloszlás

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén a Lévy-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás, mely nem negatív valószínűségi változókra érvényes.

Az eloszlás Paul Pierre Lévy francia matematikusról kapta a nevét.

A Lévy-eloszlás az inverz gamma-eloszlás speciális esete.

A Lévy-eloszlás azon kevés eloszlások közé tartozik, melyeket stabil eloszlásnak neveznek. Ilyenek még a normális eloszlás, és a Cauchy-eloszlás, melyeknek általában nincs analitikusan kifejezhető valószínűség sűrűségfüggvényük.

Sűrűségfüggvény különböző c-kre

Alkalmazása

• Geomágneses jelenségek közel Lévy-eloszlást követnek
• A Brown mozgáskor egy pont Lévy-eloszlás szerint mozog
• Zavaros közegben egy foton pályája Lévy-eloszlást mutat

Definíció

A sűrűségfüggvény a $x\ge \mu$ tartományban:

$f(x;\mu,c)=\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~~\frac{e^{ -\frac{c}{2(x-\mu)}}} {(x-\mu)^{3/2}}$

ahol $\mu$ a helyparaméter, és $c$ a skálaparaméter. A kumulatív eloszlásfüggvény:

$F(x;\mu,c)=\textrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x-\mu)}}\right)$

ahol $\textrm{erfc}(z)$ a hibafüggvény.

A $\mu$ helyparaméter hatására a görbe $\mu$ értékkel eltolódik jobbra. A Lévy-eloszlásnak, mint minden stabil eloszlásnak, van egy standard formája f(x;0,1), melynek a következő jellemző tulajdonsága van:

$f(x;\mu,c)dx = f(y;0,1)dy\,$

ahol y:

$y = \frac{x-\mu}{c}\,$

A karakterisztikus függvény:

$\varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}.$

A stabil eloszlásoknál a karakterisztikus függvényt $\alpha=1/2$, és $\beta=1$ esetekre fel lehet írni:

$\varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~\textrm{sign}(t))}.$

Feltételezve, hogy a $\mu=0$, az nik momentum az eltolatlan Lévy-eloszlásnál:

$m_n\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\int_0^\infty \frac{e^{-c/2x}\,x^n}{x^{3/2}}\,dx$

mely divergál minden n> 0 esetében, így a Lévy-eloszlás momentumai nem léteznek. A momentum generáló függvény:

$M(t;c)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\int_0^\infty \frac{e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}\,dx$

mely t>0-nál divergál, ezért nem definiálható zéró közeli tartományokban, és ezért nem definiálható saját magában. Mint minden stabil eloszlásnál, kivéve a normális eloszlást, a sűrűségfüggvény “szárnyai” viselkedése:

$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x;\mu,c) =\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~\frac{1}{x^{3/2}}.$

Ezt az alábbi ábra mutatja, ahol a sűrűségfüggvény látható különböző c és $\mu=0$ értékek mellett, log-log ábrázolásban:

Sűrűségfüggvény különböző c értékeknél

Kapcsolódó eloszlások

• Ha $X \sim \textrm{Levy}(\mu,c)\,$, akkor $k X + b \sim \textrm{Levy}(k \mu + b ,k c) \,$
• Ha $X\,\sim\,\textrm{Levy}(0,c)$, akkor $X\,\sim\,\textrm{Inv-Gamma}(\tfrac{1}{2},\tfrac{c}{2})$ (inverz gamma eloszlás)
• A Lévy-eloszlás 5. tipusú Pearson-eloszlás
• Ha $Y\,\sim\,\textrm{Normal}(\mu,\sigma^2)$ (Normális eloszlás), akkor ${(Y-\mu)}^{-2} \sim\,\textrm{Levy}(0,1/\sigma^2)$
• Ha $X \sim \textrm{Normal}(\mu,\tfrac{1}{\sqrt{\sigma}})\,$ , akkor ${(X-\mu)}^{-2} \sim \textrm{Levy}(0,\sigma)\,$
• Ha $X\,\sim\,\textrm{Levy}(\mu,c)$, akkor $X\,\sim\,\textrm{Stable}(1/2,1,c,\mu) \,$ (Stabil eloszlás)
• Ha $X\,\sim\,\textrm{Levy}(0,c)$ akkor $X\,\sim\,\textrm{Scale-inv-}\chi^2(1,c)$ (Skálázott inverz khí-négyzet eloszlás)
• Ha $X\,\sim\,\textrm{Levy}(\mu,c)$, akkor ${(X-\mu)}^{-\tfrac{1}{2}} \sim\,\textrm{FoldedNormal}(0,1/\sqrt{c})$ (Féloldalas normális eloszlás)

Jellemzők

• Tartomány =$x \in [\mu, \infty)$
• Sűrűségfüggvény =$\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~~\frac{e^{-\frac{c}{2(x-\mu)}}}{(x- \mu)^{3/2}}$
• Kumulatív eloszlás f. =$\textrm{erfc}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x-\mu)}}\right)$
• Várható érték =$\infty$
• Medián =$c/2(\textrm{erfc}^{-1}(1/2))^2\,$, for $\mu=0$
• Módusz =$\frac{c}{3}$, for $\mu=0$
• Szórásnégyzet =$\infty$
• Ferdeség =nem definiált
• Lapultság = nem definiált
• Entrópia =$\frac{1+3\gamma+\ln(16\pi c^2)}{2}$

ahol $\gamma$ az Euler-állandó

• Momentgeneráló függvény = nem definiált
• Karakterisztikus függvény=$e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}$

Irodalom

1. * Rogers, Geoffrey L: Multiple path analysis of reflectance from turbid media. Journal of the Optical Society of America A, 25:11. 2008. 2879-2883. o.

Kapcsolódó szócikkek

• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűség-számítás
• Statisztika
• Normális eloszlás

Források

• Adatok