Térelmélet

A térelméletek a fizikai elméletek egy gyakran használt és tipikus fajtája. Noha az újabb mezőelmélet (az angol field theory tükörfordítása) elnevezés pontosabb, mégis a régebbi térelmélet kifejezés használata sokkal elterjedtebb.

Térelméletek esetén a tér (téridő) minden pontjában definálva van skalár (például hőmérséklet), vektor (például nyomás) vagy tenzor (például a feszültségtenzor a rugalmas közegek dinamikájában) jellegű mennyiség és ezek folytonos függvényt (mezőt) alkotnak a térben (téridőben). Az egyes tér(idő) pontokban a fizikai mennyiségek eleget tesznek az ún. Euler–Lagrange mozgásegyenleteknek, amelyek egy általános variációs elvből, a legkisebb hatás elvéből származtathatók:

Térelméletek csoportosítása

Klasszikus térelméletről (például elektrodinamika, hidrodinamika) beszélünk, ha ez a fizikai mennyiség a klasszikus fizika keretei között marad, azaz a kvantummechanikai elveket nem tekintjük érvényesnek a fizikai mezőre. A klasszikus térelmélet is lehet nemrelativisztikus és relativisztikus, attól függően, hogy a Galilei- vagy a Lorentz-transzformációra invariáns a mező az adott pontban.

Kvantumtérelméletek (például kvantum-elektrodinamika, kvantum-színdinamika) esetén a mező adott pontjára a komplementer fizikai mennyiségek (például hely és impulzus vagy elektromos és mágneses térerősség stb.) a Heisenberg-féle határozatlansági elvnek tesznek eleget. Matematikailag ezt azzal lehet leírni, hogy a fizikai mennyiségeket reprezentáló operátorok nem felcserélhetőek (a szorzás nem kommutatív).

Térelmélet Lagrange-formalizmussal

A térelméletek egyik szokásos tárgyalása a Lagrange-formalizmus. (A másik, egyenértékű, tárgyalásmód a Hamilton-formalizmus.)

Ha a $\phi$ folytonos mezőből, amely bármely rendű tenzor lehet (vagyis akár skalár, akár vektor stb.) és amely egy sűrűségfüggvény, képezzük a Lagrange-hatást a teljes $V$ téren (vagy relativisztikus térelmélet esetén téridőn) való integrálással:

$S [\phi] = \int_V {\mathcal{L} [\phi (x)]\, dV}.$

akkor ebből a legkisebb hatás elve alapján ($\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \phi} = 0$) kapjuk a Euler-Lagrange mozgásegyenleteket

$\frac{\delta}{\delta\phi}S=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}-\partial_\mu \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)=0.$ (ahol $\partial_\mu$ a téridő szerinti derivált)

A fizikai mező minden pontján ezek az egyenletek és a mezőre érvényes határfeltételek szabják meg a mező változását. Például az elektrodinamika esetén (ez esetben $\phi$ a 4-dimenziós $F_{\mu\nu}$ térerősségtenzor) a fenti mozgásegyenletek pontosan a jól ismert Maxwell-egyenletek lesznek.