Páros és páratlan függvények

A matematikában páros illetve páratlan függvénynek nevezzük azokat a valós függvényeket, amelyek kielégítenek bizonyos, az additív inverzzel kapcsolatos szimmetriatulajdonságokat. Különösen a hatványsorok és a Fourier-sorok vizsgálatában van nagy jelentőségük.

Páros függvények

Páros függvénynek nevezzük egy olyan valós számhoz valós számot rendelő f függvényt, mely értelmezési tartománya minden x elemével együtt a -x elemet is tartalmazza és melyre teljesül, hogy

$f(-x)=f(x)\,.$

(Tehát a páros függvény "elnyeli a mínuszjelet".)

A páros függvények grafikonját tekintve a következő geometriai tulajdonsággal jellemezhetjük őket: Pontosan azok a függvények párosak, amelyek függvénygörbéje szimmetrikus az y tengelyre (azaz az y tengelyre való tükrözés helybenhagyja őket).

Néhány példa páros függvényre:

• abs: x $\mapsto$ | x | nyilvánvalóan páros, hiszen minden x valós számra |-x| = |x|.
• x $\mapsto$ x² szintén páros, mert a négyzetremelés "eltünteti a mínuszjelet".
• cos: x $\mapsto$ cos x páros függvény, mert egy α szög koszinuszán a mozgó szögszár egységkörrel alkotott metszéspontjának x koordinátáját értjük, és az α illetve -α szög mozgó szögszára a kördiagramban az x tengelyre nézve tükörszimmetrikus, vagyis az egységkörrel vett metszéspontjuknak ugyanaz az x koordinátája.

• 
  Az abszolútérték-függvény páros
• 
  A négyzetreemelés-függvény páros
• 
  A koszinuszfüggvény páros

Páratlan függvények

Páratlan függvénynek nevezzük azt a valós értékű f függvényt, amelyikre teljesül, hogy ha x eleme az értelmezési tartományának, akkor -x is eleme, és

$f(-x)=-f(x)\,.$

Geometriailag pontosan azok a függvények páratlanok, amelyek grafikonja szimmetrikus az origóra (azaz az origó körüli 180 fokos forgatás, vagyis az origóra való középpontos tükrözés helybenhagyja őket).

Néhány példa páratlan függvényre:

• x $\mapsto$ x nyilvánvalóan páratlan.
• x $\mapsto$ x³ is páratlan, mert (-x)³=-x³.
• sin: x $\mapsto$ sin x szintén páratlan függvény.

Az identitás függvény páratlan A köbreemelés-függvény páratlan A szinuszfüggvény páratlan

Tulajdonságok

A páros és páratlan számokkal ellentétben a páros és páratlan függvények halmaza se nem diszjunkt, se nem fedik le együtt az összes függvényt. Az azonosan 0 függvény egyszerre páros és páratlan (ez az egyetlen ilyen); és számtalan olyan függvény van, ami se nem páros, se nem páratlan.

Minden függvény egyértelműen felbontható viszont egy páros és egy páratlan függvény összegére az alábbi módon:

$f(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}\,+\,{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}$

Ezt a műveleti tulajdonságokkal összevetve adódik, hogy rögzített értelmezési tartomány mellett mind a páros, mind a páratlan függvények egy vektorteret képeznek a valós számok felett; és az adott értelmezési tartomány feletti függvények tere ennek a két vektortérnek a direkt összege.

A páros függvények továbbá egy kommutatív algebrát formálnak a valós számok felett. A páratlan függvényekre ez nem igaz.

A páros függvények Taylor-sorában csak páros, a páratlan függvényekében csak páratlan kitevők vannak. (Ez indokolhatja az elnevezést is.) Periodikus páros függvények Fourier-sorában csak koszinuszos, periodikus páratlan függvényekében csak szinuszos tagok vannak.

Műveleti tulajdonságok

• Páros függvények összege és konstansszorosa (egy szóval: lineáris kombinációja) páros; páratlanoké páratlan. Páratlan és páros függvények összege azonban általában se nem páros, se nem páratlan.
• Páros függvények szorzata páros; páratlanok szorzata szintén páros. Egy páros és egy páratlan függvény szorzata páratlan.
• Páros függvények deriváltja páratlan; páratlan függvényeké páros.

Megjegyzések

Lásd még

• páros és páratlan számok
• páros és páratlan permutációk