Penrose-féle grafikus jelölésrendszer

A matematikában és fizikában a Penrose-féle diagrammatikus jelölésrendszer (általában kézzel írott) vizuális leírása a multilineáris függvényeknek vagy tenzoroknak, amelyet Roger Penrose javasolt 1971-ben. A jelölésrendszer egy diagramból áll, amelyben sokféle síkidom van összekötve vonalakkal. A jelölésrendszert Predrag Cvitanović alaposan kutatta, aki arra használta, hogy osztályozza a klasszikus Lie-csoportokat. Általánosítva volt a reprezentációs elmélet a spinhálózatok által a fizikában, valamint a mátrix csoportoktól trace diagramokig a lineáris algebrában. A jelölésrendszer sokszor előfordul a modern kvantumelméletben, különösen a mátrix termékállapotokban és kvantum körökben.

Értelmezések

Multilineáris algebra

A multilineáris algebra nyelvezetében minden síkidom egy multilineáris függvénynek felel meg. A vonalak a formákhoz kapcsolva a ki- és bemenetét reprezentálják a függvénynek, valamint az idomok összekapcsolása egyúttal a függvények kompozíciója.

Tenzorok

A tenzoralgebra nyelvezetében, minden tenzor egy bizonyos formával van asszociálva több vonallal, amelyek le- és felfelé mutatnak, az absztrakt felső és alsó indexekkel megfelelően. Az összekötő vonalak a formák között az indexek rövidítésének felelnek meg. Az egyik előnye a jelölésrendszernek, hogy nem kell új betűket kitalálni az új indexeknek. Ez a jelölésrendszer bázisfüggetlen.

Mátrixok

Mindegyik forma egy mátrixot reprezentál, a tenzorszorzást vízszintesen kell végezni, a mátrixszorzást pedig függőlegesen.

Speciális tenzorok reprezentációja

Metrikus tenzor

A metrikus tenzort egy U alakú hurok vagy egy lefelé fordított U alakú hurok képviseli, a használt tenzor típusától függően.

metrikus tenzor $g^{ab}$

metrikus tenzor $g_{ab}$

Levi-Civita-tenzor

A Levi-Civita antiszimmetrikus tenzor egy vastag vízszintes vonalnak felel meg, amelyben ágak állnak lefelé vagy felfelé, attól függően, hogy milyen típusú tenzorral dolgozunk.

$\varepsilon _{ab\ldots n}$

$\varepsilon ^{ab\ldots n}$

$\varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}$$=n!$

A szerkezetállandó

szerkezet állandó ${\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }$

A Lie-algebra szerkezetkonstansai (${\gamma _{ab}}^{c}$) egy kicsi háromszög által vannak reprezentálva, amelyből egy vonal mutat felfelé, kettő pedig lefelé.

Tenzorműveletek

Az indexek rövidítése

Az indexek rövidülése úgy van ábrázolva, hogy az indexek vonalait összekötjük.

Kronecker-delta $\delta _{b}^{a}$

Pont termék $\beta _{a}\,\xi ^{a}$

$g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}$

Szimmetrizáció

Az indexek szimmetrizációját egy vastag cikkcakkos vonallal lehet reprezentálni, amely az index vonalait vízszintesen metszi.

Szimmetrizáció </br> $Q^{(ab\ldots n)}$ </br> (val vel ${}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}$ )

Az indexek antiszimmetrizációja egy vastag vízszintes vonal, amely metszi az index vonalait.

Antiszimmetrizálás </br> $E_{[ab\ldots n]}$ </br> (val vel ${}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}$ )

Determináns

A determináns úgy alakul meg, hogy antiszimmetrizációt alkalmazunk az indexekre.

Determináns $\det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)$

A mátrix inverze $\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}$

Kovariáns derivatív

A kovariáns derivatívot ($\nabla$) úgy vizualizálhatjuk, hogy egy kört rajzolunk a tenzorok köré, és egy vonal mutat lefelé a körből, hogy reprezentálja a derivatív alsó indexét.

kovariáns derivatív $12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)$$=12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)$

Tenzormanipuláció

A diagramszerű jelzésrendszer hasznos a tenzoralgebra manipulációjában. Általában megjelenik benne pár egyszerű „azonosság” a tenzormanipulációban.

Például $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$, ahol n a dimenziók száma, általános "azonosság".

Riemann görbületi tenzor

A Ricci és Bianchi-azonosságok a Riemann-görbülettenzor megadott feltételeivel megmutatják a jelölésrendszer erejét.

A Riemann görbületi tenzor jelölése

Ricci tenzor $R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}$

Ricci azonosság $(\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}$$=R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}$

Bianchi identitás $\nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0$

Kiegészítések

A jelölésrendszer ki lett bővítve a spinorokkal és tvisztorokkal.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Penrose graphical notation című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikk

• Spinhálózat