Penrose-féle grafikus jelölésrendszer

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematikában és fizikában a Penrose-féle diagrammatikus jelölésrendszer (általában kézzel írott) vizuális leírása a multilineáris függvényeknek vagy tenzoroknak, amelyet Roger Penrose javasolt 1971-ben. A jelölésrendszer egy diagramból áll, amelyben sokféle síkidom van összekötve vonalakkal. A jelölésrendszert Predrag Cvitanović alaposan kutatta, aki arra használta, hogy osztályozza a klasszikus Lie-csoportokat. Általánosítva volt a reprezentációs elmélet a spinhálózatok által a fizikában, valamint a mátrix csoportoktól trace diagramokig a lineáris algebrában. A jelölésrendszer sokszor előfordul a modern kvantumelméletben, különösen a mátrix termékállapotokban és kvantum körökben.

Értelmezések[szerkesztés]

Multilineáris algebra[szerkesztés]

A multilineáris algebra nyelvezetében minden síkidom egy multilineáris függvénynek felel meg. A vonalak a formákhoz kapcsolva a ki- és bemenetét reprezentálják a függvénynek, valamint az idomok összekapcsolása egyúttal a függvények kompozíciója.

Tenzorok[szerkesztés]

A tenzoralgebra nyelvezetében, minden tenzor egy bizonyos formával van asszociálva több vonallal, amelyek le- és felfelé mutatnak, az absztrakt felső és alsó indexekkel megfelelően. Az összekötő vonalak a formák között az indexek rövidítésének felelnek meg. Az egyik előnye a jelölésrendszernek, hogy nem kell új betűket kitalálni az új indexeknek. Ez a jelölésrendszer bázisfüggetlen.

Mátrixok[szerkesztés]

Mindegyik forma egy mátrixot reprezentál, a tenzorszorzást vízszintesen kell végezni, a mátrixszorzást pedig függőlegesen.

Speciális tenzorok reprezentációja[szerkesztés]

Metrikus tenzor[szerkesztés]

A metrikus tenzort egy U alakú hurok vagy egy lefelé fordított U alakú hurok képviseli, a használt tenzor típusától függően.

metrikus tenzor
metrikus tenzor

Levi-Civita-tenzor[szerkesztés]

A Levi-Civita antiszimmetrikus tenzor egy vastag vízszintes vonalnak felel meg, amelyben ágak állnak lefelé vagy felfelé, attól függően, hogy milyen típusú tenzorral dolgozunk.

A szerkezetállandó[szerkesztés]

szerkezet állandó

A Lie-algebra szerkezetkonstansai () egy kicsi háromszög által vannak reprezentálva, amelyből egy vonal mutat felfelé, kettő pedig lefelé.

Tenzorműveletek[szerkesztés]

Az indexek rövidítése[szerkesztés]

Az indexek rövidülése úgy van ábrázolva, hogy az indexek vonalait összekötjük.

Kronecker-delta
Pont termék

Szimmetrizáció[szerkesztés]

Az indexek szimmetrizációját egy vastag cikkcakkos vonallal lehet reprezentálni, amely az index vonalait vízszintesen metszi.

Szimmetrizáció



</br>



</br> (val vel )

Az indexek antiszimmetrizációja egy vastag vízszintes vonal, amely metszi az index vonalait.

Antiszimmetrizálás



</br>



</br> (val vel )

Determináns[szerkesztés]

A determináns úgy alakul meg, hogy antiszimmetrizációt alkalmazunk az indexekre.

Determináns
A mátrix inverze

Kovariáns derivatív[szerkesztés]

A kovariáns derivatívot () úgy vizualizálhatjuk, hogy egy kört rajzolunk a tenzorok köré, és egy vonal mutat lefelé a körből, hogy reprezentálja a derivatív alsó indexét.

kovariáns derivatív

Tenzormanipuláció[szerkesztés]

A diagramszerű jelzésrendszer hasznos a tenzoralgebra manipulációjában. Általában megjelenik benne pár egyszerű „azonosság” a tenzormanipulációban.

Például , ahol n a dimenziók száma, általános "azonosság".

Riemann görbületi tenzor[szerkesztés]

A Ricci és Bianchi-azonosságok a Riemann-görbülettenzor megadott feltételeivel megmutatják a jelölésrendszer erejét.

Ricci tenzor
Ricci azonosság
Bianchi identitás

Kiegészítések[szerkesztés]

A jelölésrendszer ki lett bővítve a spinorokkal és tvisztorokkal.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Penrose graphical notation című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikk[szerkesztés]