σ-algebra

A σ-algebra ~ szigma-algebra vagy Borel-féle halmaztest, illetve mérhető tér a matematikai struktúrák egy fajtája. Olyan egyszerű (nem-többszörös), egykomponensű topologikus struktúra, amely amellett, hogy egyszerű halmaztestet (halmazalgebrát) képez, az elemei (az ún. „mérhető/nyílt halmazok”) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tagú egyesítésére is zárt.

Formális definíció

Axiómák

Legyen Ω tetszőleges halmaz, P(Ω) az Ω részhalmazaiból álló hatványhalmaz, és legyen A$\in$P(Ω) az Ω egy részhalmazai halmaza.

Az A halmazt az Ω halmaz feletti σ-algebrának nevezzük, ha teljesülnek a következő tulajdonságok:

1.	A nem üres,	azaz	A≠$\emptyset$
2.	A tartalmazza bármely eleme (Ω-ra vonatkozó) komplementerét, vagyis zárt a komplementer- képzés műveletére;	azaz	A$\in$A $\Rightarrow$ A$\in$A
3.	A tartalmazza bármely legfeljebb megszámlálható halmazcsaládja unióját, vagyis zárt a megszámlálható unióképzésre.	azaz	$(q_{i})_{i \in \mathbb{N}} \in \ ^{\mathbb{N}} \mathcal{P}(\mathcal{A}) \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb{N}} q_{i}$

Az utolsó axiómában ^NP(A) értelemszerűen az A elemeiből alkotott megszámlálhatóan végtelen mérhetőhalmaz-sorozatok halmazát jelöli, (q_i)_i∈N egy ide eső sorozatot; és szokásosabb jelölésmóddal arról van szó, hogy ha A₀, A₁, A₂, …, A_n, … egy ilyen sorozat, akkor $\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{A}$ kell hogy teljesüljön. Éppen innen ered a fogalom elnevezése is, mivel az $\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{i}$-t régies jelöléssel $\sum_{i=0}^{\infty} A_{i}$-nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok szigma jellel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden σ-zártságnak szokás nevezni.

Amint a halmazalgebra cikkben olvasható, az 1. axióma helyettesíthető akár az "A tartalmazza az üres halmazt", akár az "A tartalmazza az univerzális halmazt (Ω-t, avagy a biztos eseményt)" tulajdonsággal, azaz az

∅∈A

vagy akár az

Ω∈A

axiómákkal, a 2. axióma pedig helyettesíthető az "A zárt a különbségképzésre"

(A,B∈A ⇒ A\B∈A)

axiómával is.

A fogalom analogonja megfogalmazható az Ω feletti halmazrendszerek esetére is.

Mérhető tér

Az (Ω, A) rendezett pár-t mérhető tér-nek nevezzük, A elemeit pedig mérhető halmazoknak.

Összefüggés más struktúratípusokkal

A szigma-algebrához legközelebbi struktúrafajta a λ-rendszer fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a szigma-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha λ-rendszer és π-rendszer (azaz megszámlálható metszet-zárt) is egyben.

Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy A véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az egyszerű halmaztest fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a topologikus tér fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény

Bár egy egykomponensű topologikus struktúra igazából egy halmazból és egy efeletti egyetlen halmazcsaládból képezett rendezett pár, a Borel-féle halmaztesten nem ezt, hanem e párnak csak a második tagját szokás érteni. Tehát az Ω feletti Borel-féle halmaztest vagy σ-algebra az Ω részhalmazainak egy megfelelő A halmaza. Magát az (Ω, A) párt mérhető térnek szokás nevezni (a Borel-féle halmaztest és a mérhető tér fogalma közti különbség általában kevéssé releváns).

Halmazelméleti-algebrai tulajdonságok

Halmazalgebra

Tetszőleges σ-algebra egyben halmazalgebra is, tehát zárt a véges metszetképzésre, illetve az összes tag uniója megegyezik az Ω tartóhalmazzal (l.o.).

Megszámlálható metszetképzésre való zártság

A halmazalgebrákhoz képest egy szigmaalgebra a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tényezős metszetképzésre is zárt. E kijelentés alapja a De Morgan-törvény általánosítása végtelen unióra/metszetre: ha I tetszőleges indexhalmaz, akkor

$\overline{ \bigcap_{i \in I} A_{i} } = \bigcup_{i \in I} \overline{A}_{i}$.

Képezve mindkét oldal komplementerét:

$\bigcap_{i \in I} A_{i} = \overline{ \bigcup_{i \in I} \overline{A}_{i} }$.

Ha mármost szigma-algebrában vagyunk, azaz A₀, A₁, …, A_n, … legfeljebb megszámlálható sok tagú A-beli halmazsorozat, akkor a fentieknek megfelelően

$\bigcap_{i = 0}^{\infty} A_{i} = \overline{ \bigcup_{i=0}^{\infty} \overline{A}_{i} }$;

Ha A szigma-algebra, akkor A_i∈A-nak minden i∈N-re, és így utóbbi komplementerhalmazok diszjunkt uniója is eleme A-nak, ■ QED.

Leszűkítés

Legyen Ω tetszőleges halmaz, Λ⊆Ω és A szigma-algebra az Ω felett. Legyen továbbá A_|Λ := {X∩Λ | X∈A}. Ekkor (Λ, A_|Λ) mérhető tér az Ω felett, amit az (Ω A) tér Λ-ra vonatkozó leszűkítésének nevezünk és (Ω A)_|Λ jelöl.

Generált algebra

Fő szócikk: Generált szigma-algebra

Igen fontos eszköz a szigma-algebrák definiálásakor a következő tétel által leírt konstrukció:

Tétel: Legyen Ω tetszőleges halmaz, és G⊆P(Ω) az Ω részhalmazainak egy családja! Ekkor létezik olyan Ω feletti σ(G) szigma-algebra, amelynek A minden eleme a tagja; és amely a legszűkebb (legkisebb) a ⊆ relációra nézve; azaz bármely más, az R elemeit elemként tartalmazó szigma-algebrának a részhalmaza (további részletek a fő szócikkben).

Szorzattér

Ha (Φ, X) és (Ψ, Y) két mérhető tér, akkor a (Φ×Ψ, σ(X×Y)) is mérhető tér. Ezt a két mérhető étr által generált szorzattérnek vagy szorzat-σ-algebrának mondjuk.

Példák

1. Tetszőleges nemüres Ω halmaz felett σ-algebrát alkot a csak az üres és az univerzális halmazból álló kételemű {∅, Ω} halmaz, ez az Ω feletti triviális σ-algebra.
2. Tetszőleges nemüres Ω halmaz esetén a teljes Ω⊆P(Ω) halmaz is halmazalgebra, az Ω feletti teljes σ-algebra.

1. Tetszőleges véges Ω halmaz feletti halmazalgebra mindig szigma-algebra is, hiszen bármely végtelen uniónak effektíve csak véges sok tagja van (értve ezen azt, hogy a tagok közül csak véges sok lehet különböző, hiszen véges halmaznak csak véges sok részhalmaza – így az efeletti szigma-algebráknak csak véges sok tagja – lehet). Így például az Ω := {1,2,3,4,5,6} feletti egy Borel-halmaztest a {∅, {1,3,5}, {2,4,6}, Ω} halmaz. Valószínűségszámítási szempontból ez azért tanulságos példa, mert jelzi, hogy egy eseményalgebrának nem szükséges minden kimenetelt mint elemi eseményt (az Ω egyelemű halmazait) tartalmaznia (ha mindegyiket tartalmazza, akkor véges Ω esetében épp a teljes eseményalgebráról van szó). Ld. még atomhalmaz.
2. Fontosabb, de bonyolultabban definiálható példák a generált σ-algebra c. fejezetben.

Hivatkozások

Lásd még

• halmazalgebra
• topologikus tér

Külső hivatkozások

• Hatványhalmazok szorzatszigmaalgebrái (pdf).