Kétmintás t-próba

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az kétmintás t-próba azt vizsgálja, hogy két külön mintában egy-egy valószínűségi változó átlagai egymástól szignifikánsan különböznek-e.

A próba alkalmazásának feltételei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

a vizsgált valószínűségi változók

A próba nullhipotézise[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nullhipotézis: a két vizsgált változó átlaga statisztikai szempontból megegyezik.

Alternatív hipotézis: a két vizsgált változó átlaga statisztikai szempontból nem egyezik meg.

A "statisztikai szempontból" kifejezés itt arra utal, hogy az eltérés a két átlag között olyan minimális, hogy pusztán csak a véletlen ingadozásnak tulajdonítható (ekkor a két átlag statisztikai szempontból azonosnak tekinthető), vagy jelentősen nagyobb, mint ami a véletlennel magyarázható (ekkor a két átlag statisztikai szempontból nem tekinthető azonosnak).

Valójában a fenti két hipotézis precíz matematikai megfogalmazása a következő.

  • H0: Az X és Y valószínűségi változók várható értékei megegyeznek, (E(X) = E(Y)).
  • H1: Az X és Y valószínűségi változók várható értékei nem egyeznek meg, (E(X) ≠ E(Y)).

A próbastatisztika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kétmintás t-próba próbastatisztikája


t =
\frac
{\overline x- \overline y}
{\sqrt
{
(n-1){s_x^*}^2
+
(m-1){s_y^*}^2
}
}
\cdot
\sqrt
{
\frac
{nm(n+m-2)}
{n+m}
}

ahol

  • \overline x az egyik valószínűségi változó átlaga a mintájában,
  • \overline y a másik valószínűségi változó átlaga a mintájában,
  • sx* az egyik valószínűségi változó korrigált szórása,
  • sy* a másik valószínűségi változó korrigált szórása,
  • n az egyik minta elemszáma és
  • m a másik minta elemszáma.

A próba végrehajtásának lépései[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. A próba alkalmazhatóságának feltétele a szórások egyezése, amit külön statisztikai próba, az F-próba segítségével ellenőrzünk. Csak akkor alkalmazhatjuk a kétmintás t-próbát ha az F-próba a szórások között szignifikáns különbséget nem tud kimutatni. Ha szignifikáns különbséget mutat ki, akkor a kétmintás t-próbát nem lehet alkalmazni, de helyette alkalmazható az ugyanezt a nullhipotézist vizsgáló Welch-próba, ami nem igényli a szórások egyezését.
  2. Az t próbastatisztika értékének kiszámítása.
  3. A p szignifikancia szint megválasztása. (Ez a legtöbb vizsgálat esetén 0,05 vagy 0,01.)
  4. A p szignifikancia szinttől függő tp érték kiválasztása a próbának megfelelő táblázatból. A táblázat jelen esetben a t-eloszlás táblázata, mely eloszlásra szoktak úgy is utalni, mint Student-eloszlás, illetve Student-féle t-eloszlás. A táblázat kétdimenziós, a p szignifikancia szint és az f szabadsági fok ismeretében azonnal megkapjuk a táblázatbeli tp értéket. Az f szabadsági fokot a kétmintás t-próba esetén az f = n + m – 2 képlettel számítjuk.
  5. A nullhipotézisre vonatkozó döntés meghozása.
    • Ha |t| ≥ tp, akkor a nullhipotézist elvetjük, az alternatív hipotézist tartjuk meg, és az eredményt úgy interpretáljuk, hogy a két mintában a valószínűségi változók átlagai szignifikánsan eltérnek egymástól (p szignifikancia szint mellett).
    • Ha |t| < tp, akkor a nullhipotézist megtartjuk, amit úgy interpretálunk, hogy a kétmintás t-próba nem mutat ki szignifikáns különbséget a két mintában a valószínűségi változók átlagai között (p szignifikancia szint mellett).

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Biológusok egy vizsgálatban azzal a feltételezéssel élnek, hogy a sivatagi iramszarvas számára kedvezőbb életkörülményeket jelent ha van lehetőségük hűs vízben lubickolni, amikor csak kedvük tartja, mint ha ugyanerre nincs lehetőségük. Ennek a hipotézisnek a tesztelésére 19 iramszarvast különítenek el egy hatalmas csordából, és véletlenszerűen besorolják őket két csoportba. Az egyik csoportba 8 a másikba 11 egyed kerül. A két csoport egyedeit minden életfeltétel tekintetében azonos körülmények között tartják, attól eltekintve, hogy az egyik csoportnak rendelkezésére áll egy kellemes kis medence is, melyben bármikor fürdőzhetnek, a másiknak pedig nem. Három hónapnyi elkülönítés után a sivatagi iramszarvasok súlyát lemérik. Azzal a feltételezéssel élnek, hogy a medence mellett tartott szarvasok testsúlya jobban gyarapodott, mint a másik csoporté. (Köztudott, hogy a sivatagi iramszarvasok erőnlétének egyik legpontosabb jelzője a testsúlyuk: a súlyosabb iramszarvasok mindig egészségesebbek és erősebbek).

A medencés csoport szarvasainak testsúlya kg-ban:

52; 57; 62; 55; 64; 57; 56; 55.

A medencét nélkülöző csoport szarvasainak testsúlya kg-ban:

41; 34; 33; 36; 40; 25; 31; 37; 34; 30; 38.

Arra kíváncsiak a biológus kutatók, hogy a két csoport átlagos testsúlya közötti különbség szignifikánsan nagynak mondható, vagy nem nagyobb annál, mint amit a puszta véletlennel is magyarázni lehet. Felteszik, hogy a szarvasok testsúlya normális eloszlást követ. Ez – bár igen reálisnak hangzik – ellenőrizhető más statisztikai próbákkal, úgynevezett normalitásvizsgálatokkal. Az átlagsúlyok összehasonlítására kétmintás t-próbát alkalmaznak.

Első lépésben ellenőrzik, hogy a két mintában a testsúly szórása azonosnak tekinthető-e. Erre F-próbát alkalmaznak, ami nem mutat ki szignifikáns különbséget a szórások között (ld. F-próba példája), így a kétmintás t-próba alkalmazásának feltételei adottak. Az F-próbához is a korrigált szórások négyzetét kell kiszámítani, ami ebben a két mintában sx*2 = 15,36, és sy*2 = 21,87. A "medencés" iramszarvasok átlagos testsúlya \overline x = 57,25, míg a másik csoportnál ugyanez a paraméter \overline y = 34,45, a minták nagysága n = 8 és m = 11. A próbastatisztika értéke ennek megfelelően


\begin{matrix}
t
&=&
\frac
{\overline x- \overline y}
{\sqrt
{
(n-1){s_x^*}^2
+
(m-1){s_y^*}^2
}
}
\cdot
\sqrt
{
\frac
{nm(n+m-2)}
{n+m}
}
\\ \ &
=&
\frac
{57,25- 34,45}
{\sqrt
{
7 \cdot 15,36
+
10 \cdot 21,87
}
}
\cdot
\sqrt
{
\frac
{8 \cdot 11(8+11-2)}
{8+11}
}
\approx 11,12
\end{matrix}

A szignifikancia szintet p = 0,05-nek véve és az f = n + m – 2 = 17 szabadsági fok ismeretében a t-táblázatban a t0,05 = 2,11 értéket találják a kutatók, így

t ≈ 11,12 miatt t > 11,11 > 2,11 = t0,05

azaz |t| ≥ t0,05 teljesül.

Tehát a nullhipotézist elvetik, a kétmintás t-próba szerint a medencés környezetben tartott sivatagi iramszarvasok átlagos testsúlya 3 hónap alatt szignifikánsan magasabb lett (p = 0,05-ös szignifikancia szint mellett), mint az ugyanolyan körülmények között tartott, de medencét nélkülöző iramszarvasoké.

A próba matematikai háttere[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A próba matematikai hátterének legfontosabb gondolata, hogy bármely X és Y független, normális eloszlású valószínűségi változóra vett X1, X2, … Xn illetve Y1, Y2, … Xm minták esetén az


\overline X=
\frac{1}{n}
\sum_{i=1}^{n}
X_i,
\qquad
\overline Y=
\frac{1}{m}
\sum_{j=1}^{m}
X_,

valamint az


s^*_X=
\sqrt
{
\frac
{\sum_{i=1}^n (X_i-\overline X)^2}
{n-1}
},
\qquad
s^*_Y=
\sqrt
{
\frac
{\sum_{i=1}^m (Y_i-\overline Y)^2}
{m-1}
}

jelölésekkel élve megmutatható, hogy a


t =
\frac
{\overline X- \overline Y}
{\sqrt
{
(n-1){s_X^*}^2
+
(m-1){s_Y^*}^2
}
}
\cdot
\sqrt
{
\frac
{nm(n+m-2)}
{n+m}
}

valószínűségi változó (n + m – 2) szabadsági fokú t-eloszlást követ.

Emiatt az (n + m – 2) szabadsági fokú t-eloszlás ismeretében bármilyen 1 > p > 0 esetén meg lehet határozni azt az tp értéket, melyre


1-p
=
\bold P
\left(
-t_p
<
\frac
{\overline X- \overline Y}
{\sqrt
{
(n-1){s_X^*}^2
+
(m-1){s_Y^*}^2
}
}
\cdot
\sqrt
{
\frac
{nm(n+m-2)}
{n+m}
}
<
t_p \mid \ H_0
\right)
.

Ez azt jelenti, hogy ha igaz a nullhipotézis, akkor a t próbastatisztika értéke 1-p valószínűséggel a (-tp, tp) intervallumba esik.

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A kétmintás t-próba bizonyos tekintetben az kétmintás u-próba párja, mindkettő ugyanazt a nullhipotézist vizsgálja ugyanolyan adottságok mellett. Ugyanakkor az alkalmazás feltételeiben nem esik teljesen egybe a két próba és a próbastatisztikák képletei is nagy különbséget mutatnak. A kétmintás t-próba és a kétmintás u-próba között tehát nem olyan nagy a hasonlóság, mint a egy egymintás t- és u-próba között volt.
  • A szakirodalom nem teljesen egységes annak tekintetében, hogy a nullhipotézis elvetéséről vagy megtartásáról szóló döntésben az |t| és tp közötti két egyenlőtlenség közül melyiknél engedi meg az egyenlőséget. Ennek gyakorlati jelentősége nem igazán van, az alkalmazások során nagyon ritkán adódik, hogy a kiszámított próbastatisztika pontosan egybeessen a táblázatbeli értékkel. Ha esetleg mégis így alakul, akkor az eredmény úgy interpretálható, hogy a nullhipotézis elvetése esetén a kockázat pontosan megegyezik a szignifikancia szinttel, s innen a kutató (és a tudós társadalom) szája ízétől függ, hogy ebben inkább a nullhipotézis elvetésének, vagy inkább a nullhipotézis megtartásának zálogát látja.
  • Érdemes megfigyelni az óvatos fogalmazást a nullhipotézis megtartása esetén. Az általunk meghatározott p szignifikancia szint az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét adja meg. Ha el tudom vetni a nullhipotézist, akkor ekkora kockázatot vállalok arra nézve, hogy esetleg hiba elvetni. Amennyiben viszont nem tudom elvetni a nullhipotézis, akkor elsőfajú hibát biztosan nem fogok elkövetni, ám elkövethetek másodfajú hibát, melynek kockázatáról semmit nem mond a próba. Ez indokolja, hogy ha a nullhipotézist megtartjuk, akkor nem azt mondjuk, hogy nincs szignifikáns különbség a két átlag között, hanem hogy a kétmintás t-próba nem tudott szignifikáns különbséget kimutatni (ami ettől még lehet, hogy van).
  • A próbastatisztika képletét szokták a következő formában is megadni.

t =
\frac
{\overline x- \overline y}
{
\sqrt
{\frac{(n-1){s_x^*}^2+(m-1){s_y^*}^2}{n+m-2}}
\cdot
\sqrt
{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}
}
Ez a fenti képlettel ekvivalens.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egymintás t-próba

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
  • Michaletzky Gy. – Mogyoródi J. (1995): Matematikai statisztika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Vargha A. (2000): Matematikai statisztika pszichológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal. Pólya Kiadó, Budapest.