Izomorfizmustételek

Az izomorfizmustételek az univerzális algebra fontos eredményei, amik csoportok, gyűrűk és bonyolultabb struktúrák szerkezetét tárják fel. Az adott algebrai struktúra, kategória homomorfizmustételének közvetlen következményei. Néha a homomorfizmustételt tekintik az első izomorfizmustételnek, és az első és második izomorfizmustételt a második és a harmadik izomorfizmustételnek nevezik.

Csoportelmélet

Homomorfizmustétel

Legyenek $G$ és $H$ csoportok, $\Phi$ homomorfizmus $G$-ből $H$-ba. Jelölje $\Phi$ magját $K$, és rendelje a $\gamma _{K}$ homomorfizmus minden $g$ elemhez a $K$ szerinti bal mellékosztályát! Ekkor van egy egyértelmű $\Psi :G/K\to \Phi (G)$ homomorfizmus, amire $\Phi (g)=\Psi (\gamma _{K}(g))$ minden $g\in G$-re.

Első izomorfizmustétel

Legyen G csoport, H részcsoport G-ben, és N normálosztója G-nek! Ekkor HN={hn|h ∈ H, n ∈ N}=NH, és

(HN)/N≅H/H ∩ N.

Második izomorfizmustétel

Legyen G csoport, legyenek N és M normálosztók G-ben, és legyen M N részcsoportja! Ekkor:

G/N≅(G/M)/(N/M).

Gyűrűelmélet

A gyűrűelméleti tételek a csoportelméleti tételek általánosításai, csak a szorzás igényel további meggondolásokat.

Első izomorfizmustétel

Legyen R gyűrű, I ideál, és S részgyűrű R-ben! Ekkor S+I is részgyűrű R-ben, és S∩I ideál S-ben, és

(S'+I)/I≅S/(S∩I).

Második izomorfizmustétel

Legyen R gyűrű, I és J ideálok R-ben, és I részgyűrűje J-nek! Ekkor

(R/I)/(J/I)≅R/J,

és a felírt faktorcsoportok értelmesek.

Bizonyítás

Csak a csoportelméleti tételeket bizonyítjuk; a gyűrűelméleti tételek bizonyítása hasonló.

Az első izomorfizmustétel bizonyítása

Mivel N normálosztó, azért HN=NH, és ez részcsoport. N részcsoportja HN-nek, ugyanis 1·N=N, és normálosztó is, mivel gN=Ng minden g∈G-re, tehát minden g∈HN-re is.

Legyen a φ homomorfizmus az x-> xN természetes homomorfizmus leszűkítése a H-ra! Ennek magja H∩N, ugyanis ha

hN=1·N, akkor

h∈N, azaz h∈H∩N.

A szürjektivitáshoz vizsgáljuk HN elemeit; ezek xN mellékosztályok, ahol x befutja HN-t. HN elemeinek alakja hn, ahol h∈H, és n∈N, így a mellékosztályok hnN=hN alakúak. φ képe végigfut a hN mellékosztályokon, tehát φ szürjektív, így bevethető a homomorfizmustétel.

A homomorfizmustétellel az izomorfia azonnal következik.

A második izomorfizmustétel bizonyítása

Jelölje a kanonikus homomorfizmusokat π: G->G/M és φ: G-> (G/M)/(N/M)! Kompozíciójuk a szürjektív ψ: G->(G/M)(G/N). Keressük ennek magját.

Ha g a magban van, akkor 1=ψ(g)=φ(π(g)). Innen π(g) φ magjában van, ami N/M, így π⁻¹(N/M)=π⁻¹(π(N))=N.

Innen a homomorfizmustétellel azonnal adódik az ekvivalencia.

További információk

• Alice és Bob - 18. rész: Alice és Bob felcsavarja a számegyenest
• Alice és Bob - 25. rész: Alice és Bob fontos párhuzamokat talál

Források

• LA Veress: Értekezés
• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
• matheplanet.com: A csoportelméleti izomorfizmustételek bizonyítása