Izomorfizmustételek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az izomorfizmustételek az univerzális algebra fontos eredményei, amik csoportok, gyűrűk és bonyolultabb struktúrák szerkezetét tárják fel. Az adott algebrai struktúra, kategória homomorfizmustételének közvetlen következményei. Néha a homomorfizmustételt tekintik az első izomorfizmustételnek, és az első és második izomorfizmustételt a második és a harmadik izomorfizmustételnek nevezik.

Csoportelmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Homomorfizmustétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

G és H csoportok, Φ homomorfizmus G-ből H-ba. Jelölje Φ magját K, és rendelje a γK homomorfizmus minden g elemhez a K szerinti bal mellékosztályát! Ekkor van egy egyértelmű Ψ: G/K -> Φ(G) homomorfizmus, amire Φ(g)=Ψ(γK(g)) minden gG-re.

Első izomorfizmustétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen G csoport, H részcsoport G-ben, és N normálosztója G-nek! Ekkor HN={hn|hH, nN}=NH, és

(HN)/NH/HN.

Második izomorfizmustétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen G csoport, legyenek N és M normálosztók G-ben, és legyen M N részcsoportja! Ekkor:

G/N≅(G/M)/(N/M).

Gyűrűelmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyűrűelméleti tételek a csoportelméleti tételek általánosításai, csak a szorzás igényel további meggondolásokat.

Első izomorfizmustétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen R gyűrű, I ideál, és S részgyűrű R-ben! Ekkor S+I is részgyűrű R-ben, és SI ideál S-ben, és

(S'+I)/IS/(SI).

Második izomorfizmustétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen R gyűrű, I és J ideálok R-ben, és I részgyűrűje J-nek! Ekkor

(R/I)/(J/I)≅R/J,

és a felírt faktorcsoportok értelmesek.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Csak a csoportelméleti téteteleket bizonyítjuk; a gyűrűelméleti tételek bizonyítása hasonló.

Az első izomorfizmustétel bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel N normálosztó, azért HN=NH, és ez részcsoport. N részcsoportja HN-nek, ugyanis 1·N=N, és normálosztó is, mivel gN=Ng minden gG-re, tehát minden gHN-re is.

Legyen a φ homomorfizmus az x-> xN természetes homomorfizmus leszűkítése a H-ra! Ennek magja HN, ugyanis ha

hN=1·N, akkor
hN, azaz hHN.

A szürjektivitáshoz vizsgáljuk HN elemeit; ezek xN mellékosztályok, ahol x befutja HN-t. HN elemeinek alakja hn, ahol hH, és nN, így a mellékosztályok hnN=hN alakúak. φ képe végigfut a hN mellékosztályokon, tehát φ szürjektív, így bevethető a homomorfizmustétel.

A homomorfizmustétellel az izomorfia azonnal következik.

A második izomorfizmustétel bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelölje a kanonikus homomorfizmusokat π: G->G/M és φ: G-> (G/M)/(N/M)! Kompozíciójuk a szürjektív ψ: G->(G/M)(G/N). Keressük ennek magját.

Ha g a magban van, akkor 1=ψ(g)=φ(π(g)). Innen π(g) φ magjában van, ami N/M, így π−1(N/M)=π−1(π(N))=N.

Innen a homomorfizmustétellel azonnal adódik az ekvivalencia.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]