Izomorfizmustételek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

Az izomorfizmustételek az univerzális algebra fontos eredményei, amik csoportok, gyűrűk és bonyolultabb struktúrák szerkezetét tárják fel. Az adott algebrai struktúra, kategória homomorfizmustételének közvetlen következményei. Néha a homomorfizmustételt tekintik az első izomorfizmustételnek, és az első és második izomorfizmustételt a második és a harmadik izomorfizmustételnek nevezik.

Csoportelmélet[szerkesztés]

Homomorfizmustétel[szerkesztés]

G és H csoportok, Φ homomorfizmus G-ből H-ba. Jelölje Φ magját K, és rendelje a γK homomorfizmus minden g elemhez a K szerinti bal mellékosztályát! Ekkor van egy egyértelmű Ψ: G/K -> Φ(G) homomorfizmus, amire Φ(g)=Ψ(γK(g)) minden gG-re.

Első izomorfizmustétel[szerkesztés]

Legyen G csoport, H részcsoport G-ben, és N normálosztója G-nek! Ekkor HN={hn|hH, nN}=NH, és

(HN)/NH/HN.

Második izomorfizmustétel[szerkesztés]

Legyen G csoport, legyenek N és M normálosztók G-ben, és legyen M N részcsoportja! Ekkor:

G/N≅(G/M)/(N/M).

Gyűrűelmélet[szerkesztés]

A gyűrűelméleti tételek a csoportelméleti tételek általánosításai, csak a szorzás igényel további meggondolásokat.

Első izomorfizmustétel[szerkesztés]

Legyen R gyűrű, I ideál, és S részgyűrű R-ben! Ekkor S+I is részgyűrű R-ben, és SI ideál S-ben, és

(S'+I)/IS/(SI).

Második izomorfizmustétel[szerkesztés]

Legyen R gyűrű, I és J ideálok R-ben, és I részgyűrűje J-nek! Ekkor

(R/I)/(J/I)≅R/J,

és a felírt faktorcsoportok értelmesek.

Bizonyítás[szerkesztés]

Csak a csoportelméleti tételeket bizonyítjuk; a gyűrűelméleti tételek bizonyítása hasonló.

Az első izomorfizmustétel bizonyítása[szerkesztés]

Mivel N normálosztó, azért HN=NH, és ez részcsoport. N részcsoportja HN-nek, ugyanis 1·N=N, és normálosztó is, mivel gN=Ng minden gG-re, tehát minden gHN-re is.

Legyen a φ homomorfizmus az x-> xN természetes homomorfizmus leszűkítése a H-ra! Ennek magja HN, ugyanis ha

hN=1·N, akkor
hN, azaz hHN.

A szürjektivitáshoz vizsgáljuk HN elemeit; ezek xN mellékosztályok, ahol x befutja HN-t. HN elemeinek alakja hn, ahol hH, és nN, így a mellékosztályok hnN=hN alakúak. φ képe végigfut a hN mellékosztályokon, tehát φ szürjektív, így bevethető a homomorfizmustétel.

A homomorfizmustétellel az izomorfia azonnal következik.

A második izomorfizmustétel bizonyítása[szerkesztés]

Jelölje a kanonikus homomorfizmusokat π: G->G/M és φ: G-> (G/M)/(N/M)! Kompozíciójuk a szürjektív ψ: G->(G/M)(G/N). Keressük ennek magját.

Ha g a magban van, akkor 1=ψ(g)=φ(π(g)). Innen π(g) φ magjában van, ami N/M, így π−1(N/M)=π−1(π(N))=N.

Innen a homomorfizmustétellel azonnal adódik az ekvivalencia.

Források[szerkesztés]