Gráfok lexikografikus szorzata

Gráfok lexikografikus szorzata.

A matematika, azon belül a gráfelmélet területén a G és H gráfok lexikografikus szorzata vagy gráfkompozíció egy gráfszorzás, olyan kétváltozós gráfművelet, amely gráfok rendezett párjaihoz egy új gráfot rendel. A G ∙ H vagy $G[H]$ lexikografikus szorzat olyan gráf, melyre a következők igazak:

• G ∙ H csúcshalmaza megegyezik a V(G) × V(H) Descartes-szorzattal;
• két G ∙ H-beli csúcs, (u,v) és (x,y) pontosan akkor szomszédosak, ha u szomszédos x-szel G-ben vagy u = x és v szomszédos y-nal H-ban.

Ha a két gráf élrelációi rendezési relációk, akkor lexikografikus szorzatuk élrelációja éppen a megfelelő lexikografikus rendezés.

A lexikografikus szorzatot elsőként Felix Hausdorff (1914) tanulmányozta. Ahogy (Feigenbaum & Schäffer 1986) megmutatta, annak eldöntése, hogy egy gráf lexikografikus szorzatként előáll-e, a gráfizomorfizmus-problémával ekvivalens.

Tulajdonságok

A lexikografikus szorzat általában nemkommutatív: G ∙ H ≠ H ∙ G. A diszjunkt unió művelettel együtt azonban disztributívak: (A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C. Ezen kívül teljesít egy a komplementerképzéssel kapcsolatos azonosságot: C(G ∙ H) = C(G) ∙ C(H).

A lexikografikus szorzat függetlenségi száma könnyen adódik tényezőinek függetlenségi számaiból (Geller & Stahl 1975):

α(G ∙ H) = α(G)α(H).

A lexikografikus szorzat klikkszáma is multiplikatív:

ω(G ∙ H) = ω(G)ω(H).

A lexikografikus szorzat kromatikus száma megegyezik G frakcionális színezés szerinti b-szeres kromatikus számával, ahol b megegyezik H kromatikus számával:

χ(G ∙ H) = χ_b(G), ahol b = χ(H).

Két gráf lexikografikus szorzata pontosan akkor perfekt gráf, ha mindkét tényező perfekt (Ravindra & Parthasarathy 1977).

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Lexicographic product of graphs című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

• Feigenbaum, J. & Schäffer, A. A. (1986), "Recognizing composite graphs is equivalent to testing graph isomorphism", SIAM Journal on Computing 15 (2): 619–627, DOI 10.1137/0215045.
• Geller, D. & Stahl, S. (1975), "The chromatic number and other functions of the lexicographic product", Journal of Combinatorial Theory, Series B 19: 87–95, DOI 10.1016/0095-8956(75)90076-3.
• Hausdorff, F. (1914), Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig
• Imrich, Wilfried & Klavžar, Sandi (2000), Product Graphs: Structure and Recognition, Wiley, ISBN 0-471-37039-8
• Ravindra, G. & Parthasarathy, K. R. (1977), "Perfect product graphs", Discrete Mathematics 20 (2): 177–186, DOI 10.1016/0012-365X(77)90056-5.

További információk

• Weisstein, Eric W.: Graph Lexicographic Product (angol nyelven). Wolfram MathWorld