Fresnel-integrál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Fresnel-integrálok az x\to C(x) és x\to S(x) leképezésekkel adott transzcendens valós-valós függvények, ahol

C(x)=\int \limits _0^x \cos(u^2)\,du ,\quad S(x)=\int \limits _0^x \sin(u^2)\,du.

C(x) illetve S(x) az y=\cos(x^2) és az y=\sin(x^2) függvény területfüggvénye (x=0 kezdő abszcisszától).

Fresnel Cos.gif
Fresnel Sin.gif

Leírásuk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Fresnel-integrálok nem írhatók fel elemi függvényekkel zárt analitikus alakban. A helyettesítési érték kiszámítására a következő, minden x\in\mathbb{R} helyen konvergens hatványsorok alkalmasak:

S(x)= \frac{x^3}{3\cdot 1!}-\frac{x^7}{7\cdot3!}+\frac{x^11}{11\cdot5!}\mp\dots+
(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},
C(x)= \frac{x}{1\cdot 0!}-\frac{x^5}{7\cdot2!}+\frac{x^9}{9\cdot4!}\mp\dots+
(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.

A függvények csökkenő amplitúdóval és hullámhosszal oszcillálnak a +\infty -ben vett határértékük körül (nem periodikusak!):

\int \limits _{0}^{\infty} \cos u^2\,du = \int \limits _{0}^{\infty} \sin u^2\,du = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.

A függvénygörbék egy transzponált alakja az elméleti vizsgálatokban használt normalizált alak:

S_o(x)=\int \limits _0^x \sin(\frac{\pi u}{2}^2)\,du,\quad C_o(x)=\int \limits _0^x \cos(\frac{\pi u}{2}^2)\,du,

melyek a \lim_{x\to +\infty}C_o(x)=\lim_{x\to +\infty}S_o(x)=\frac{1}{2}\,~~ érték körül oszcillálnak.

Normalizált Fresnel-integrálok, So(x) és Co(x).

Alkalmazása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A függvényeket Augustin-Jean Fresnel (1788-1827) francia fizikus alkalmazta a fényinterferencia vizsgálatok matematikai elemzésénél. E vizsgálatok a fénynek Christiaan Huygens (1629-1695) holland fizikus által kidolgozott hullámtermészetét igazolták. Vele egy időben és tőle függetlenül hasonló sikeres kísérleteket végzett Thomas Young (1773-1829) angol orvos.

Az út-/vasútépítésben fontos átmeneti ív, a klotoid (Cornu-spirál, Euler-spirál) paraméteres egyenletrendszerét a két Fresnel-integrál megfelelő transzformációjával lehet megadni:

\begin{cases}
x(t)=k\cdot C(t)\\
y(t)=k\cdot S(t)
\end{cases}

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Reinhardt–Soeder: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
Bronstein–Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
Pattantyús: Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.