Euler–Lagrange-egyenlet
|
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. |
A matematikában és a fizikában az Euler–Lagrange-egyenlet vagy Euler-egyenlet[1] egy differenciálegyenlet, amelynek megoldásai olyan függvények, amelyekre egy adott funkcionálnak nyugvópontja van. Az egyenlettel először Leonhard Euler és Joseph Louis Lagrange matematikusok foglalkoztak.
Mivel a differenciálható függvényeknek nyugvópontja van a lokális szélsőértékeiknél, így az egyenlet használható optimalizációs problémák megoldásakor. Például ha adott egy funkcionál, és a feladat az, hogy megtaláljuk azt a függvényt, amely minimalizálja vagy maximalizálja azt. Lásd: Fermat-tétel (analízis).
Története
Az egyenletet először Euler és Lagrange fedezte fel az 1750-es években.
Az egyenlet első változata Lagrange-tól származik 1755-ből, aki azt elküldte Eulernek. Ezután együttesen továbbfejlesztették Lagrange módszerét, és fizikai feladatok megoldására alkalmazták.[2]
A tétel
Az Euler–Lagrange-egyenlet egy olyan differenciálegyenlet, amelyet egy q valós t változós függvény, amely a következő funkcionálnak:
nyugvópontja. Ahol:
- q, a keresett függvény, amire teljesül, hogy:
- úgy, hogy q differenciálható és q(a) = xa és q(b) = xb;
- q′ jelöli q deriváltját, és:
- L pedig egy valós értékű függvény, folytonos parciális deriváltakkal:
Ekkor az Euler-Lagrange egyenlet:
ahol Lx és Lv jelölik a L második és harmadik argumentum szerinti parciális deriváltjait.
Ha az X tér dimenziója nagyobb, mint 1, akkor ez egy egyenletrendszer:
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben az Euler–Lagrange equation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Jegyzetek
- ↑ Fox, Charles. An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications (1987). ISBN 978-0-486-65499-7
- ↑ A short biography of Lagrange
Források
- Weisstein, Eric W.: Euler-Lagrange Differential Equation (angol nyelven). Wolfram MathWorld
- Sablon:Planetmathref
- Gelfand, Izrail Moiseevich. Calculus of Variations. Dover (1963). ISBN 0-486-41448-5