Euler–Lagrange-egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában és a fizikában az Euler–Lagrange-egyenlet vagy Euler-egyenlet[1] egy differenciálegyenlet, amelynek megoldásai olyan függvények, amelyekre egy adott funkcionálnak nyugvópontja van. Az egyenlettel először Leonhard Euler és Joseph Louis Lagrange matematikusok foglalkoztak.

Mivel a differenciálható függvényeknek nyugvópontja van a lokális szélsőértékeiknél, így az egyenlet használható optimalizációs problémák megoldásakor. Például ha adott egy funkcionál, és a feladat az, hogy megtaláljuk azt a függvényt, amely minimalizálja vagy maximalizálja azt. Lásd: Fermat-tétel (analízis).

Története[szerkesztés]

Az egyenletet először Euler és Lagrange fedezte fel az 1750-es években.

Az egyenlet első változata Lagrange-tól származik 1755-ből, aki azt elküldte Eulernek. Ezután együttesen továbbfejlesztették Lagrange módszerét, és fizikai feladatok megoldására alkalmazták.[2]

A tétel[szerkesztés]

Az Euler–Lagrange-egyenlet egy olyan differenciálegyenlet, amelyet egy q valós t változós függvény, amely a következő funkcionálnak:

nyugvópontja. Ahol:

  • q, a keresett függvény, amire teljesül, hogy:
úgy, hogy q differenciálható és q(a) = xa és q(b) = xb;
  • q′ jelöli q deriváltját, és:
  • L pedig egy valós értékű függvény, folytonos parciális deriváltakkal:

Ekkor az Euler-Lagrange egyenlet:

ahol Lx és Lv jelölik a L második és harmadik argumentum szerinti parciális deriváltjait.

Ha az X tér dimenziója nagyobb, mint 1, akkor ez egy egyenletrendszer:

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben az Euler–Lagrange equation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Fox, Charles. An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications (1987). ISBN 978-0-486-65499-7 
  2. A short biography of Lagrange

Források[szerkesztés]