Dini-derivált

A matematika tudományában, közelebbről a matematikai analízisben, az alsó és felső Dini-derivált a derivált fogalmának kiterjesztése nem feltétlenül differenciálható, de az analízis szempontjából értelmezhető tulajdonságú, például folytonos vagy Lipschitz-tulajdonságú függvények esetén.

Definíció

Ha f valós-valós függvény, akkor a Dini-féle felső deriválton az értelmezési tartomány egy x pontja esetén a következőket értjük:

$f'_{+}(x)=\lim _{h\rightarrow 0}\sup {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

itt a limesz szuperior a következő függvénytani értelmben értendő:

$\lim _{\varepsilon \to 0}\sup \left\{{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}:h\in \mathrm {Dom} (f)\cap B(0;\varepsilon )\right\}$

ahol Dom( f ) az f függvény értelmezési tartományát jelöli.

Másrészt a Dini-féle alsó derivált az értelmezési tartomány egy x pontjában:

$f'_{-}(x)=\lim _{h\rightarrow 0}\inf {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

ahol a limesz inferior a következő:

$\lim _{\varepsilon \to 0}\inf \left\{{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}:h\in \mathrm {Dom} (f)\cap B(0;\varepsilon )\right\}$

Megjegyzések

Természetesen, ahogy a derivált sem, ugyanúgy a Dini-derivált sem feltétlenül létezik, illetve véges. Ahol a függvény differenciálható, ott a hagyományos derivált és a Dini-deriváltak egyenlők.

Ha f lokálisan Lipschitz-tulajdonságú, akkor a Dini-deriváltak léteznek, és végesek. Ha ezen kívül f értelmezési tartománya kompakt, vagy f Lipschitz-tulajdonságú, akkor a Dini-derivált korlátos.

Példa az alkalmazásukra

Ez a deriváltfajta lényeges szerepet kap a Riemann-integrálhatóság elméletében. Például a határozott Riemann-integrál helyettesítési tételének érvényes egy olyan változata, amikor az érdeklődésünk homlokterében a transzformáló G függvény áll. Ha tehát feltesszük, hogy a lipschitzes G függvény a korlátos és zárt [a,b] intervallumot az ugyanilyen [α,β] intervallumba képezi olymódon, hogy G majdnem mindenhol erősen differenciálható és majdnem mindenhol injektív, akkor tetszőleges [α,β]-n Riemann-integrálható f esetén fennáll a következő integráltranszformációs tétel:

$\int \limits _{\alpha }^{\beta }f=\int \limits _{a}^{b}(f\circ G)\cdot g$

ahol a g függvény a G felső Dini-deriváltja.