Dinamikai rendszer (definíció)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ez a szócikk a dinamikai rendszer fogalmának formális definícióiról szól. A dinamikai rendszerekről általában a fő szócikkben találhatók további ismeretek.

Egy dinamikai rendszer lényegében olyan matematikai objektumrendszer, mely pontok adott absztrakt térben történő mozgását modellezi konkrét törvényszerűségek mellett. A pont az idő előrehaladtával más és más pályát futhat be aszerint, hogy a tér mely pontjáról indítottuk. A dinamikai rendszereknél lényeges, hogy maga a törvényszerűség nem függ az idő múlásától, ahogy a newtoni dinamika törvényei sem függnek. Innen a „dinamikai” jelző.

Természetesen az absztrakt matemaikai definíció szerint a tér lehet akármilyen topologikus tér, az időpillanatok helyett pedig nem csak a valós számegyenes pontjai állhatnak, hanem akár komplex számok is, sőt akármilyen additív félcsoport, akár diszkrét sokaság is.

Az absztrakt definíciókról[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A dinamikai rendszer definíciójának két fajtáját két szemlélet motiválja. Az egyik az autonóm (időfüggetlen) közönséges differenciálegyenletek, megoldásainak összességének személetes képe, a másik a mértékelméleti, ergodelméleti szemlélet. A mértékelméleti gondolat alapja az áramló folyadék viselkedése. Az ideális folyadék összenyomhatatlan, áramlása közben egy kiszemelt folyadékrész térfogata nem változik, csak az alakja. Ez a térfogatmérték-tartás, az invariáns mérték létezését feltevő ergodelméleti dinamikai rendszerek intuitív képének eredete. A két szemlélet között a Krilov–Bogoljubov-tétel teremt kapcsolatot, mely metrikus tér invariáns mértékének egzisztenciáját állítja egy, a téren ható folytonos leképezésre vonatkozóan.

Általános definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Dinamikai rendszeren olyan (T, M, Φ) hármast értünk, melyben T egy monoid a + művelettel, M tetszőleges nemüres halmaz és Φ az alábbi tulajdonságoknak eleget tévő függvény:

\Phi: U \subset T \times M \to M

mellyel

 I(x) = \{ t \in T : (t,x) \in U \}\,
\Phi(0,x) = x\,
\Phi(t_2,\Phi(t_1,x)) = \Phi(t_1 + t_2, x),\, minden \, t_1, t_2, t_1 + t_2 \in I(x)\,-re.

A Φ(t,x) függvény a rendszer időfejlődési függvényének nevezzük. Φ felfogható úgy, mint egy olyan hozzárendelés, mely az M halmaz minden x pontjához egy I(x) halamazon értelmezett, M-be érkező függvényt rendel. M-et még fázistérnek, x-et kezdeti állapotnak is nevezzük.

Szokásos jelölés még:

\Phi_x(t) := \Phi(t,x)\,
\Phi^t(x) := \Phi(t,x)\,

amennyiben az egyik változót (az első esetben x-et, a második esetben t-t) rögzítjük. A rendszeraxiómák következménye, hogy ha Φ folytonos egy M feletti topológiában, akkor rögzített t-re Φt:M \to M homeomorfizmus (invertálható és inverzével együtt folytonos leképezés) és az inverze Φ−t.

Látható, hogy Φ pedig monoidhomomorfizmus T műveletére és az M  \to M típusú leképezések közötti kompozícióra nézve:

\Phi^t\circ\Phi^s=\Phi^{t+s}

A

\Phi_x:I(x) \to M

függvény az x ponton áthaladó áramvonal, melynek képhalmaza az x-en átmenő trajektória. A

\gamma_x:=\{\Phi(t,x) : t \in I(x)\}

függvény az x-en áthaladó pálya.

Az M tér egy H részhalmazát Φ-invariánsnak nevezzük, ha H minden x elemére t „időpontra”

\Phi(t,x) \in H

azaz a pályák nem hagyják el H-t.

Geometriai jellegű dinamikai rendszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ezekben az esetekben M sokaság vagy gráf.

Valós idejű dinamikai rendszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Speciális esetben (T, M, Φ)-ben T egy nyílt intervalluma R-nek, M differenciálható sokaság (lokálisan diffeomorf egy Banach-térrel, például véges dimenziós esetben minden pont egy nyílt környezetében invertálható és inverzével együtt differenciálható megfeleltetésbe hozható Rn egy nyílt részhalmazával), és Φ folytonos a T × M szorzatsokaságon. A T=R esetben a rendszert globálisnak nevezzük. Ha T a nemnegatív valós számok halmaza (kizárjuk az negatív időt), akkor persze + csak félcsoport-művelet. Ha Φ folytonosan differenciálható, akkor differenciálható dinamikai rendszerről beszélünk. Rn-nel lokálisan diffeomorf rendszer esetén véges, egyébként végtelen dimenziós a dinamikai rendszer.

Diszkrét dinamikai rendszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Diszkrét idejű dinamikai rendszer esetén (T, M, Φ)-ben T az egészek vagy a nemnegatív egészek halmaza, M differenciálható sokaság.

Példa differenciálegyenletből definiált dinamikai rendszerre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A dinamikai rendszerek létrejöttének fő motivációja a dinamikában szereplő közönséges differenciálegyenletek. Legyen f(t,x) olyan folytonos függvény, mely R × R3-ból képez R3-ba, x0 adott pont a térben. Ekkor a

\dot{x}=f(t,x)
x|_{{t=0}}=x_0

kezdetérték-feladat azt kívánja meghatározni, hogy f által szabályozott sebességű test milyen pályát fut be, amennyiben az x0 pontból indítjuk.

  • autonómnak nevezzük, a rendszert, ha f nem függ az időtől és
  • homogénnek, ha f(t,0)=0 minden t\,-re, azaz a nullából induló megoldások mind a nullában maradnak.

Ha tekintjük minden x0-ra az egyenlet megoldásait, akkor a differenciálegyenlet

\mathrm{sol_{t_0,x_0}(t)}

megoldásai a dinamikai rendszert alkotják.

\Phi(t_2,\Phi(t_1,x)) = \Phi(t_1 + t_2, x),\,

szemléletes jelentése a következő. Az x pontból induló megoldás t1 idő elteltével az y = Φ(t1,x) pontba érkezik. Az y pontból induló megoldás t2 idő elteltével ugyanoda érkezik, mint ahova az x pontból érkező megoldás t1 + t2 idő múlva, azaz a Φ(t2,y) = Φ(t1 + t2,x) pontba.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • I. D. Chuesov "Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems" [1].