Csavarvonal

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jobbsodrású hengeres csavarvonal
Szőlő balsodrású csavarvonal alakú kacsa.
Kúpos csavarvonal
Loxodróma

A csavarvonal, más néven hélix térgörbe, mely úgy származtatható, hogy egy henger, kúp vagy gömb felületén egy pont egyenletes sebességgel mozog a felület tengelye irányában, és közben egyenletes szögsebességgel forog a felületen a tengely körül.

A csavarvonal fontos a biológiában, a DNS molekula atomjai kettős csavarvonal mentén rendeződnek el, de több protein molekula is csavarvonal alakú. Műszaki alkalmazása is gyakori, rugó, dugóhúzó, csavar, csigahajtás esetén találkozni vele. A sodrott kötélben a pászmák szintén csavarvonal alakban helyezkednek el. A csavarvonal bal- illetve jobbsodrású lehet. Jobbsodrású a csavarvonal, ha a pont tengelyirányú mozgásához az óramutató járásával egyező irányú forgás tartozik (tehát ahogy egy csavar befelé csavarodik). A bal sodrású csavarvonalnál a tengelyirányú mozgáshoz az óramutató járásával ellentátes irányú forgó mozgás tartozik. A jobbforgású csavar elmozdulással és elfordulással nem, csak tükrözéssel vihető át balforgású csavarba és viszont. A legtöbb csavar kötőelem jobbforgású, csak kivételes esetben készítenek balmenetű csavarokat, azokat a csavaron jól látható és el nem távolítható módon jelölni is kell. A fehérjék molekulájának csavarvonala és a DNS A és B alakja jobbsodrású, a Z alakú DNS molekula balsodrású.

A csavarvonal  m \, menetemelkedése az a tengelyirányú távolság, ami alatt a származtató pont egy teljes fordulatot tesz meg.

Hengerre írható csavarvonal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az  a \, sugarú,  m \, menetemelkedésű csavarvonal vektoros egyenlete:

 \mathbf{r} (t) = a \cos (t) \mathbf{i} + a \sin (t) \mathbf{j} + \frac {m} {2 \pi} t \mathbf{k} \, ,

ahol

 \mathbf{r}(t) \, a helyvektor,
  \mathbf{i} \, ,   \mathbf{j} és  \mathbf{k} \, , az x,y és z irányú egységvektor.

vagy paraméteres egyenlete:

 x = a \cos(t) \,
 y = a \sin(t) \,
 z = \frac {m} {2 \pi} t \,

A csavarvonal görbülete állandó:

 g = \frac {a} {a^2 + (\frac {m}{2 \pi})^2} \, ,

csavarodása (torziója) szintén állandó:

 c = \frac {2 m \pi} {4 \pi^2m^2 + a^2} \, .

Megjegyzendő, hogy a hengeres csavarvonal az egyetlen térgörbe, melynél mind a görbület, mind a csavarodás zérótól különböző állandó. Hengerfelületen két tetszőleges pont közötti legrövidebb út (geodetikus vonal) egy csavarvonal szakasz. Ez könnyen ellenőrizhető, ha egyik alkotója mentén felvágjuk a hengert és kiterítjük, akkor a csavarvonal egyenessé alakul. A mókusok ezt jól tudják, ki is használják, mikozben futkároznak a fatörzseken. A görbület és csavarodás viszonya:

 \frac {g}{c} = \frac {2 \pi a}{m} = \mathrm{const} \, .

Az összes csavarvonal szükséges és elégséges feltétele az, hogy a görbület és csavarodás viszonya állandó legyen (Lancret tétele).

Más csavarvonalak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az  \alpha \, félkúpszögű, origó csúcsú, z tengelyű kúpra írt csavarvonal egyenlete:  \mathbf{r} = a e^{b t} \cos t \mathbf{i} + a e^{b t} \sin t \mathbf{j} + a e^{b t} \mathrm{ctg} \alpha \mathbf{k}\, ahol  a \, a csavarvonal kezdő sugara, a  b \, paramétertől a menetek sűrűsége függ. Ennek a görbének az érintője állandó szöget zár be a kúp tengelyével.

A gömbfelületre írt olyan görbe, melynek érintője a gömb egy meghatározott tengelyével állandó  \alpha \, szöget zár be, a gömbre írt csavarvonal vagy loxodroma.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]