Cobb–Douglas-függvény

A Cobb–Douglas-függvények a közgazdaságtan különböző területein, így a mikroökonómiai fogyasztás- és termeléselméletben, valamint a makroökonómiában is széles körben használatos függvények. Elsőként Knut Wicksell svéd közgazdász alkalmazta őket, elnevezésük mégis az amerikai Charles Cobb matematikus és Paul Douglas közgazdász nevéből származik. Cobb és Douglas a határtermelékenységi elméletben az egyes tényezők hozzájárulását a használati érték termeléshez társadalmi méretekben igyekeztek megragadni. Az Euler-tételből kiindulva a termékmennyiség és a tényezők mennyisége közötti függvényszerű összefüggést mutatták ki. Kísérletet tettek a munka és a tőke határtermelékenységének számszerűsítésére. A Cobb–Douglas-függvények a CES-függvények olyan speciális eseteinek tekinthetők, amelyekre $\rho \rightarrow 0$.

Általános alakjuk

Egy n-változós Cobb–Douglas-függvény általános alakja:

$CD(x_{1},x_{2},...,x_{n})=c\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}}=c\cdot x_{1}^{a_{1}}\cdot x_{2}^{a_{2}}\cdot ...\cdot x_{n}^{a_{n}},$

ahol c és minden a_i pozitív konstans.

Olykor célszerűbb a függvény valamilyen alapú logaritmusával dolgozni:

$\log CD(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\log(c\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}})=\log c+\sum _{i=1}^{n}a_{i}\log x_{i}=\log c+a_{1}\log x_{1}+...+a_{n}\log x_{n}$

Tulajdonságaik

A Cobb–Douglas-függvények

• folytonosak és minden változójuk szerint parciálisan differenciálhatók;
• monoton növekvők (minden x_i > 0 esetén szigorúan);
• konkávak, ha $\sum a_{i}\leq 1$ ($\sum a_{i}<1$ esetén szigorúan);
• egységnyi helyettesítési rugalmasságúak;
• $\sum a_{i}$-edfokon homogének.

Ezek a tulajdonságok megkönnyítik a fogyasztási és termelési optimumok megkeresését és kezelését. Emiatt a Cobb–Douglas-függvényeket jól viselkedő – hasznossági, illetve termelési – függvényeknek szokás nevezni.

A Cobb–Douglas termelési függvény

Cobb és Douglas konkrét függőséget akart kimutatni a tőke és a munka mennyisége, valamint a termelés volumene között. Termelési függvényük kiinduló képlete, Q=f(K,L) csak általánosságban fejezte ki, hogy a termelés függ a tőke és a munka mennyiségétől. (Q= quantity = mennyiség, K= kapital = tőke, L= labour =munka) Az összefüggések megtalálása céljából Douglas az amerikai gyáripar 1899-1922 közötti statisztikai megfigyeléseit vizsgálta. Feltételezte, hogy a termelés mennyisége csupán a tőke és a munka mennyiségének változása miatt következett be. Tehát mind a technikai haladástól, mind pedig a munka minőségében bekövetkezett változásoktól eltekintett. Eljárása kényszerű volt, mivel e minőségi változásokat nem tudta számszerűsíteni. A termelés ciklikus változásától úgyszintén eltekintett, mivel mind a munka, mind a tőke azonos intenzitású kihasználását feltételezte. A munkát a foglalkoztatott munkások számaként, a tőkét kizárólag állótőkeként ragadta meg. Az adatokból levont következtetések eredményeként Cobb és Douglas a

                                        Q=bL^(k ) K^m 

összefüggést találta a legjobb képletnek, ahol a termelési rugalmasságok a kitevőkben szerepelnek, b pedig azokat a termelési hatásokat fejezi ki, amelyek nem tudhatók be külön egyik tényezőnek sem. b és a termelési rugalmasságok meghatározására elképzelésük a következő volt: ha a munkáslétszám és a tőkeállomány időben különböző ütemben nőnek, azaz a tőke-munka arány időben változik, és ismerjük miként változik vele együtt a termelés, akkor korreláció-számítással meghatározható, miként függ a termelés külön-külön a tőkétől és a munkától. A függvény a fenti feltételezések mellett további sajátosságokkal is bír. Egyik alapvető jellemzője, hogy a helyettesítés rugalmassága= 1. ( A helyettesítés rugalmassága a tényezőarányok százalékos változásának és a helyettesítés százalékos változásának a hányadosa. A helyettesítés határrátájában a határtermelékenységek hányadosa fejeződik ki.) A függvény további alapvető tulajdonsága, hogy korlátlan helyettesítést fejez ki a tényezők között. Azonkívül sajátos módon fejeződik ki benne a tényezők határtermelékenységének rugalmassága. ( A tényezők határtermelékenységének rugalmassága a tőke-munka arány százalékos változása és a tényezők határtermelékenységének százalékos változása közötti viszonyt fejezi ki.) Tekintve, hogy a Cobb-Douglas termelési függvény a termelésben mutatkozó változásokat pusztán a tőke és a munka mennyiségi változásaira kívánta visszavezetni és nem vette számításba a technikai fejlődés hatásait, ezért a függvényt a későbbiekben többen finomították. Először Tinbergen kísérelte meg 1942-ben, majd Solow 1957-ben a technikai haladás elkülönítését. Így a függvény modernizált változatai már számolnak azzal, hogy a technikai haladásnak jórészt új tőkejavakban kell megtestesülnie. Az „emberi tőkébe” eszközölt beruházás révén kezdik figyelembe venni a szakképzettségnek a munka termelékenységére gyakorolt hatását.

A Cobb-Douglas függvényt bírálói szerint nem lehet az erőforrások optimális elhelyezése számára mérceként felállítani, mivel a függvény révén kiszámított határtermelékenységek az erőforrások tényleges felhasználásával nyert határtermelékenységek, hisz a függvényben leírt összefüggés statisztikai tényadatok elemzéséből született.

Magyarországon részletesen Hoós János (közgazdász) foglalkozott még Mátyás Antal közgazdász professzoron kívül a Cobb–Douglas-függvényekkel egy közgazdasági alapművében. (A gazdasági növekedés alapvető tényezői, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, 1970.)

Források

• Dr. Mátyás Antal: A modern polgári közgazdaságtan története. KJK, 1973
• Dr. Mátyás Antal: A polgári közgazdaságtan története az 1870-es évektől napjainkig. KJK, 1979. ISBN 963 220 724 6