Konvex és konkáv függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvényt konvexnek nevezünk, ha a görbéje feletti végtelen síktartomány konvex halmaz, azaz ha egy tetszőleges szakasz két végpontja benne van a síktartományban, akkor a szakasz összes pontja is. Egy másik szemléletes megfogalmazás, hogy akkor konvex egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe alatt halad.

Az Rn egy konvex részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény esetén is szokás konvexitásról beszélni, ennek formális megfogalmazása lentebb található. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja fölötti térrész (R2 \rightarrow R esetben) konvex.

Hasonlóan, egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvény konkáv, ha a görbéje feletti végtelen síktartomány konkáv. Ekvivalensen, akkor konkáv egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe fölött halad. A konkáv tulajdonság is kiterjeszthető az Rn egy konvex részén értelmezett függvényekre. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja fölötti térrész (R2 \rightarrow R esetben) konkáv.

Köznapi nyelven a konvex-konkáv fogalmat így írják le: a konvexben nem lehet elbújni, a konkávban lehet.

Általános definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az f: I \rightarrow R intervallumon értelmezett valós változójú függvény konvex, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad, azaz tetszőleges a < b pontra az I-ből és t ∈ [0,1]-re:

f(t\cdot a+(1-t)\cdot b)\leq t\cdot f(a)+(1-t)\cdot f(b)

f konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad, azaz ha tetszőleges a < b pontra az I-ből és t ∈ [0,1]-re:

f(t\cdot a+(1-t)\cdot b)\geq t\cdot f(a)+(1-t)\cdot f(b)

Szigorúan konvexnek illetve szigorúan konkávnak nevezzük f-et, ha a fenti formulában csak akkor teljesülhet egyenlőség, ha t= 0 vagy 1.

A többváltozós esetben a fenti formulák változatlanul fennmaradnak, csak a és b az értelmezési tartományba eső tetszőleges szakasz két végpontja.

Konvexitás és differenciálhatóság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az f: I \rightarrow R intervallumon értelmezett, valós függvény differenciálható, akkor ennek konvex tulajdonsága még a következőképpen is megfogalmazható: minden I-beli x, u számpár esetén

f(x)\geq f(u)+f'(u)(x-u)

illetve konkáv, ha minden I-beli x, u számpár esetén:

f(x)\leq f(u)+f'(u)(x-u)

Azaz az érintő egyenes (mely differenciálható függvények esetében értelmezhető csak) konvex esetben mindig a függvénygörbe alatt, konkáv esetben felett halad. Ekkor rendre a függvény és első Taylor-polinomja közötti f – T1,uf ≧ 0 illetve f – T1,uf ≦ 0 egyenlőtlenségről beszélünk (tetszőleges uI pontnál).

Amennyiben a függvény kétszer differenciálható, akkor fenáll a következő

TételA konvexitás (konkavitás) jellemzése – Az f: I \rightarrow R intervallumon értelmezett kétszer differenciálható függvény pontosan akkor konvex (konkáv), ha a második deriváltja mindenhol nemnegatív (nempozitív).

f konvex \Leftrightarrow \mbox{ }_{f''\geq 0}
f konkáv \Leftrightarrow \mbox{ }_{f''\leq 0}
A függvény konkáv a [0;1,9] intervallumban
A függvény konvex a [-1,9;0] intervallumban

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Konvex függvények lineáris kombinációja újra konvex lesz, ha nincs benne negatív együttható. Konkáv függvények csupa nem negatív együtthatós lineáris kombinációja újra konkáv.
  • Ha egy függvénysorozat véges kivétellel csupa konvex, vagy konkáv függvényt tartalmaz, akkor a sorozat határértéke is ilyen lesz.
  • Konvex függvények felső burkolója konvex, konkáv függvények alsó burkolója konkáv.
  • Teljesül a Jensen-egyenlőtlenség: ha f konvex, és a λi együtthatók egyike sem negatív, akkor
f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f\left(x_i\right).

Ha f konkáv, akkor az egyenlőtlenség fordított irányú.

  • Nyílt intervallumon konvex, vagy konkáv függvény folytonos azon az intervallumon. Megfordítva, ha egy nyílt intervallumon folytonos függvényre teljesül a Jensen-egyenlőtlenség, akkor a függvény az egyenlőtlenség irányától függően konvex, vagy konkáv.
  • Nyílt intervallumon konvex, vagy konkáv függvény majdnem mindenütt differenciálható.
  • Mindezek a tulajdonságok több dimenziós esetben is teljesülnek, ha nyílt intervallum helyett mindig tartományt, azaz összefüggő nyílt halmazt tekintünk.
  • Végtelen dimenzióban nem lesz az összes konvex és konkáv függvény folytonos, mivel vannak lineáris operátorok, amik nem folytonosak. Ilyen például a differenciáloperátor.