Ciklikus asszociált

A ciklikus asszociált algebrai fogalom, a véges testek elméletében van alapvető szerepe. Fontos elméleti szerepe van például az ilyen testek feletti polinomok felbonthatóságának jellemzésében, de a testbővítések elméletében is hasznos. A véges testek elméletének egyébként például a digitális jelfeldolgozás elméletében van fontos szerepe (kódoláselmélet stb.) .

Legyen K véges test, és R ≤ K ennek egy részteste (tehát K|R, azaz K az R egy bővítése). Az $a^{|R|^{j}}\ ,\ j\in \mathbb {N} ^{+}$ elemet, mely tehát az a egy hatványa az a∈K testbeli elem R résztestre vonatkozó j indexű ciklikus asszociáltjának nevezzük.

A $C_{R}(a)=(a^{|R|^{j}})_{j\in \mathbb {N} ^{+}}=(a^{|R|^{1}},a^{|R|^{2}},\dots ,a^{|R|^{j}},\dots )\in K^{\mathbb {N} ^{+}}$ végtelen sorozat elemeit az a elem R résztestre vonatkozó ciklikus asszociáltjai sorozatának nevezzük. A $j\in \mathbb {N} ^{+}$ kitevőt az $a^{|R|^{j}}$ ciklikus asszociált indexének nevezzük.

Tehát az a elem összes ciklikus asszociáltja(inak halmaza) eme sorozat értékkészlete, azaz az $k\in K|\exists j\in \mathbb {N} ^{+}$ $k=a^{|R|^{j}}$ $=$ $\{a^{|R|^{1}},a^{|R|^{2}},\dots ,a^{|R|^{j}},\dots \}$ halmaz elemei. Ennek számossága véges, és az a elem c_R(a) ciklikus rendje.

A fogalom végtelen testekre is általánosítható, például úgy, hogy egy elem ciklikus asszociáltjai az elem minimálpolinomjának gyökei.

A ciklikus asszociált fogalmához nagyon hasonlít a ciklikus konjugált fogalma ld. még lentebb is.

Ciklikus rend

.

Belátható, hogy a ciklikus asszociáltak C_R(a) sorozata periodikus, és (minimális) periódusa épp az a R-re vonatkozó ciklikus rendje. Lásd ott .

Ciklikus konjugáltak

Ha a ciklikus asszociáltak olyan véges sorozatát vesszük, mely – kivételesen a 0-t is a szóba jövő indexek közé számítva – az első $d:=log_{|R|}(|K|)=dg(K|R)$ $j\in \{0,2,\dots ,d-1\};$ indexű asszociáltat tartalmazza, akkor az R résztestre vonatkozó ciklikus konjugáltakról (röviden konjugáltakról) beszélünk.

Tehát az a∈K elem ciklikus konjugáltjai $a^{|R|^{0}}=a,a^{|R|^{1}},\dots ,a^{|R|^{dg(K|R)-1}}$. Természetesen mivel d-1 általában nagyobb (egészen pontosan, ha c a ciklikus rend, c|d teljesül, ld. itt), mint a ciklikus rend, ezért a ciklikus konjugáltak nem mind különböző elemek.

Tulajdonságok

Egy polinom gyökének ciklikus asszociáltjai is gyökök

A ciklikus asszociáltak legalapvetőbb tulajdonsága a következő:

Legyen K bővítése az R testnek (K|R), és $a\in K$ gyöke az R test feletti polinomnak. Ekkor, sőt ekkor és csak ekkor, az a összes R-re vonatkozó ciklikus asszociáltja is gyöke e polinomnak.

• Legyen a polinom $f[x]=\sum _{i=0}^{k}\alpha _{i}x^{i}\in R[x]$, tehát $\alpha _{i}\in R$. A feltétel szerint $f[a]=\sum _{i=0}^{k}\alpha _{i}a^{i}=0\in K$ .
  • A a csoportelméletből ismert Lagrange-tétel szerint bármely bármely $b\in R$ elemre, tehát a polinom együtthatóira is, $\alpha ^{|R|}=1$, minthogy az R*=(R\{0},×) multiplikatív csoportbeli $o(\alpha )$ rend osztója a csoport elemszámának, |R|-1-nek, tehát $\alpha ^{|R|-1}=1$, és innen $\alpha ^{|R|}=\alpha$ (tehát egy testelemet a test elemszámára mint kitevőre emelve, magát az elemet kapjuk a hatvány értékeként – ez egyébként a Kis Fermat-tétel általánosítása véges testekre). Érvényes emiatt az $\left(\alpha +\beta \right)^{|R|}=\alpha ^{|R|}+\beta ^{|R|}$ azonosság is az R-beli $\alpha ,\beta \in R$ elemekre, ugyanis $\left(\alpha +\beta \right)^{|R|}=\alpha +\beta =\alpha ^{|R|}+\beta ^{|R|}$, hiszen R (rész)test, így zárt az összeadásra, és így $\alpha ,\beta \in R\Rightarrow \alpha +\beta :=\gamma \in R$, és ekkor az előbb elmondottak szerint $\gamma ^{|R|}=\gamma$ .
  • Azonban ennél több is teljesül, és szükségünk is van rá. Nevezetesen ismert, hogy ha $k=c\!h(K)$a K test karakterisztikája, akkor az ${\mathfrak {f}}(x):K\mapsto K;{\mathfrak {f}}(x)=x^{k}$ ún. Frobenius-függvény összeg- és szorzattartó (mellesleg injektív is), azaz egy homomorfizmus K-n. Az összegtartás, amire szükségünk van, az egyetlen nemtriviális állítás, azonban a binomiális tétel segítségével, és annak ismeretében, hogy $p\ |\ {p \choose k}$ ha 0<k<p és p prím, az is belátható. Márpedig egy test karakterisztikája mindig prím.
  • Belátjuk, hogy ha a gyöke f-nek, akkor a^|R| is gyöke f-nek, innen pedig indukcióval belátható, hogy ez utóbbi elemet akárhányszor is |R|-edik hatványra emelve, azaz bármelyik ciklikus asszociáltat is véve, az gyöke lesz f-nek. Valóban, $f[a^{|R|}]=\sum _{i=0}^{k}\alpha _{i}\left(a^{|R|}\right)^{i}$ $=$ $\sum _{i=0}^{k}\alpha _{i}^{|R|}a^{|R|\cdot i}$ $=$ $\sum _{i=0}^{k}\left(\alpha _{i}a^{i}\right)^{|R|}$ $=$ $\left(\sum _{i=0}^{k}\alpha _{i}a^{i}\right)^{|R|}$ $=$ $\left(f[a]\right)^{|R|}$ $=$ $\left(0\right)^{|R|}$ $=$ $0\in K$, s eszerint $a^{|R|}$ gyöke f-nek.
• Fordítva, ha a valamely asszociáltja gyöke a polinomnak, akkor eme asszociált minden ciklikus asszociáltja is gyök. De ezek halmaza semmi más, mint az a ciklikus asszociáltjai halmaza, hiszen az asszociáltak sorozata periodikus, így bármely elemét kezdjük hatványozni, előbb utóbb visszakapjuk az összes ciklikus asszociáltat.
• QED.

Relatív automorfizmusok

Belátható, hogy két K testbeli elem (a,'b) akkor és csak akkor ciklikus asszociáltjai egymásnak az R résztestre vonatkozóan, ha van R-nek olyan ρ:K→K relatív automorfizmusa, mely a két elemet egymásba viszi, azaz amelyre ρ(a)=b.

Lásd bővebben a Véges test relatív automorfizmusainak karakterizációja, illetve a ciklikus konjugált szócikkekben.

Források

Gonda János: Véges testek