Bessel-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a Bessel-függvények a Bessel-féle differenciálegyenlet kanonikus megoldásai (y(x)). A Bessel-féle differenciálegyenlet:

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0

Ezt a függvényt először Daniel Bernoulli (1700 – 1782) svájci fizikus definiálta, majd Friedrich Bessel (1784 – 1846) német matematikus általánosította, és róla nevezték el a függvényeket.

A differenciálegyenlet igaz bármely valós vagy komplex α-ra (ez a függvény rendszáma). A legfontosabb esetekben α egy integer vagy egy fél-integer (Félegész számok). A differenciálegyenletnek két fajta megoldása ismeretes: ezek az I. fajú Bessel-függvény (Jα) és a II. fajú Bessel-függvény (Yα) (Neumann-függvény). Létezik egy III. fajú függvény is, de ezt inkább Hankel-függvénynek hívják, mely a I. fajú Bessel-függvény és a II. fajú Bessel függvény speciális kombinációja.

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Bessel-függvények a Laplace-egyenlet és a Helmholtz-egyenletek megoldásaira használják hengerkoordináta-rendszerben, vagy gömbi koordináták rendszerében. A Bessel-függvények különösen fontosak a hullámterjedési problémák megoldásánál, és statikuspotenciál-problémák esetén. Hengerkoordináta-rendszerben a Bessel-függvényeknél az α=n; gömbi koordináták rendszerében a félegész szám rendű megoldás alkalmazható ((α = n+1/2).

Példák az alkalmazási területekre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

I. fajú Bessel-függvény (Jα)[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

I.fajú Bessel-függvény, α =0,1,2 esetekre

II. fajú Bessel-függvény (Yα)[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

II.fajú Bessel-függvény, α =0,1,2 esetekre

Bessel-integrál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

n integer értékekre a Bessel-függvény definiálható integrállal is:

J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (n \tau - x \sin(\tau)) \,\mathrm{d}\tau.

Egy másik analóg kifejezés integrállal:

J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-i(n \tau - x \sin(\tau))} \,\mathrm{d}\tau.

Bessel ezt a kifejezést használta, és ebből a kifejezésből vezette le a függvény számos tulajdonságát.

Módosított Bessel-függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Bessel-függvények érvényesek komplex argumentumú x-ekre is. Egy fontos speciális eset, amikor az argumentum tisztán komplex. Ezekben az esetekben a Bessel-függvény megoldásait módosított Bessel-függvényeknek hívják (vagy hiperbolikus Bessel-függvénynek). [1]

Módosított I.fajú Bessel-függvény, n =0,1,2 esetekre
Módosított II.fajú Bessel-függvény, n =0,1,2 esetekre













Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Abramowitz and Stegun, p. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11.