Argumentumelv

Az egyszerű zárt C görbe (feketével), f nullhelyei (kékkel) és f pólusai (pirossal). Itt $\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(4-5)$.

A komplex függvénytanban az argumentumelv kapcsolatba hozza egy meromorf függvény nullhelyeinek és pólusainak számát a függvény logaritmikus deriváltjának zárt út mentén való integráljával.

Speciálisan, ha f(z) meromorf egy zárt görbe, C belsejében és a görbén, és az f függvénynek nincsenek a C görbén nullhelyei illetve pólusai, akkor

$\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)$

ahol N és P rendre a nullhelyek és pólusok számát jelöli a C görbe belsejében multiplicitással illetve renddel számolva. A tételnek ez a alakja feltételezi, hogy a C görbe egyszerű, és az óramutató járásával ellentétesen irányított.

Általánosabban feltesszük hogy f(z) meromorf a komplex sík egy Ω nyílt részhalmazán, és legyen C zárt görbe az Ω halmazon, és itt összehúzható egy pontra, továbbá elkerüli f(z) nullhelyeit és pólusait. Jelölje minden z ∈ Ω esetén n(C,z) a C z körüli körülfordulási számát. Ekkor :$\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=2\pi i\left(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\right)$,

ahol az első összeg f nullhelyein megy végig multiplicitással, és a második f pólusain renddel számítva.

A körintegrál értelmezése

Az $\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz$ körintegrál értelmezhető, mint az f(C) nulla körüli körülfordulási számának 2πi-szerese, az w = f(z) helyettesítéssel:

$\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\,dw$

Ez f(z) argumentumának teljes megváltozása, ahogy z bejárja a teljes C görbét; ez magyarázza a tétel elnevezését, és következik abból, hogy:

${\frac {d}{dz}}\log(f(z))={\frac {f'(z)}{f(z)}}$

és az argumentum és a logaritmus kapcsolatából.

Általánosítása

Ha g analitikus a teljes $\Omega$ tartományban, akkor:

$\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}g(z)\,dz=2\pi i\left(\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(b)n(C,b)\right)$

ahol az első összeg f nullhelyeit futja be multiplicitással, és a második f pólusait renddel.

Alkalmazásai

Az argumentumelv használható gyökök és pólusok keresésére számítógéppel. Az ${1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz$ kifejezés még kerekítési hibákkal is közel egész lesz. Különböző C görbékkel információhoz juthatunk a nullhelyek és a pólusok elhelyezkedéséről. A Riemann-sejtést is argumentumelvvel tesztelik, hogy felső korlátot adjanak a Riemann-féle kszi-függvény nullhelyeire a kritikus egyenest metsző téglalapok használatával.

Rouché tételének bizonyítása felhasználja az argumentumelvet.

A visszacsatolás ellenőrzésének elméletéről szóló modern könyvek az argumentumelvvel alapozzák meg a Nyquist stabilitási kritériumot.

Egy általánosabb megfogalmazásban, ha g analitikus, akkor

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).$

Például, ha f polinom, és gyökei a C görbe belsejében z₁, ..., z_p, és g(z) = z^k, akkor

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\dots +z_{p}^{k},$

f gyökeinek hatványösszeg szimmetrikus polinomja.

Egy másik következmény, hogy ha alkalmasan választjuk az f és a g függvényeket, akkor az

$\oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz$

integrál az Abel–Plana-formulát adja:

$\sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt$

ami kifejezi a kapcsolatot egy direkt összeg és integrálja között.

Bizonyítása

Legyen z_N nullhelye f-nek. Írhatjuk, hogy f(z) = (z − z_N)^kg(z)

ahol k a nullhely multiplicitása, így g(z_N) ≠ 0. Kapjuk, hogy

$f'(z)=k(z-z_{N})^{k-1}g(z)+(z-z_{N})^{k}g'(z)\,\!$

és

${f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{N}}+{g'(z) \over g(z)}.$

Mivel g(z_N) ≠ 0, következik, hogy a g' (z)/g(z) függvénynek nincs szingularitása z_N-ben, ezért itt analitikus, ennek következtében f′(z)/f(z) reziduuma a z_N helyen k.

Legyen z_P pólusa f-nek. Írhatjuk, hogy f(z) = (z − z_P)^−mh(z)

ahol m a pólus rendje, és h(z_P) ≠ 0. Ekkor a fentiekhez hasonlóan

$f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.$

és

${f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}$

Következik, hogy a h′(z)/h(z) függvénynek nincs szingularitása a z_P helyen, mivel h(z_P) ≠ 0, ezért itt analitikus, ennek következtében f′(z)/f(z) reziduuma a z_P helyen −m.

Összetéve: f minden k-szoros z_N nullhelye az f′(z)/f(z) egyszerű pólusa k reziduummal, és minden m rendű z_P pólus f′(z)/f(z) egyszerű pólusa, −m reziduummal. Továbbá megmutatható, hogy az f′(z)/f(z) függvénynek nincsenek további pólusai, így további reziduumai sem.

A reziduumtétel miatt a C menti integrál 2πi és a reziduumok szorzata. Továbbá az összeg k minden z_N esetén, a nullhelyeket multiplicitással számolva, és hasonló teljesül a pólusokra is, így a tétel bizonyítása kész.

Története

Frank Smithies könyve szerint (Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997, p. 177) Augustin-Louis Cauchy 1831 november 27-én egy fentihez hasonló tételt mutatott be Turinban, a Piemont-Szardínia Királyság fővárosában, Franciaországtól távol. Azonban abban a tételben csak nullhelyekről volt szó, pólusokról nem. 1874-ben adták ki a képletet, de kézírásos formában, ami így nehezen olvasható. Cauchy 1855-ben egy cikkben diszkutálta a tételt, és abban már a pólusok is benne voltak.

Források

• Rudin, Walter. Real and Complex Analysis (International Series in Pure and Applied Mathematics). McGraw-Hill (1986). ISBN 978-0-07-054234-1 
• Ahlfors, Lars. Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. McGraw-Hill (1979). ISBN 978-0-07-000657-7 
• Complex Variables and Applications. McGraw-Hill (1989). ISBN 978-0-07-010905-6 
• Backlund, R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta(s) de Riemann, C. R. Acad. Sci. Paris 158, 1979-1982.