Abel-teszt

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában, az Abel-teszt (Abel-kritériumnak is hívják) módszer a véges sorok konvergenciájának. A tesztet Niels Henrik Abel matematikusról nevezték el.

Két kissé különböző változat létezik, az egyik valós számok sorozatára, a másik a komplex analízisben a hatványsorokra használható.

Abel-teszt a valós analízisben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a következő állítások igazak:

1. \sum a_n egy konvergens sorozat
2. {b_n} egy monoton sorozat
3. {b_n} korlátos,

akkor \sum a_nb_n konvergens.

Abel-teszt a komplex analízisben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Abel-tesztet gyakran hatvány-sorok – egy konvergencia körön belüli - konvergenciájának megállapítására használják. Az Abel-teszt az állítja, hogy ha


\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0\,

és a


f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\, sorozat

konvergál, ha |z| < 1 és divergál ha |z| > 1, továbbá a {an} együtthatók pozitív valós számok, monoton csökkennek a zéró határérték felé n > m esetén (azaz, ha n elég nagy), akkor az f(z) függvény konvergál mindenhol egy egységnyi körön belül, kivéve, amikor z = 1.

Az Abel-teszt nem alkalmazható, amikor z = 1, úgy, hogy ebben a speciális pontban külön kell vizsgálni a konvergenciát.

Megjegyzendő, hogy az Abel-teszt olyan hatvány sorokra is alkalmazható, ahol a konvergencia sugara R ≠ 1, egy egyszerű változó cserével: ζ = z/R.[1]

Az Abel-teszt bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tegyük fel, hogy z egy egységnyi körben egy pont, és z ≠ 1. Ekkor


z = e^{i\theta} \quad\Rightarrow\quad z^{\frac{1}{2}} - z^{-\frac{1}{2}} =
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}} \ne 0

így, bármely két pozitív egészre p > q > m, írhatjuk, hogy


\begin{align}
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right) & =
\sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right] -
a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}} + a_pz^{p+\frac{1}{2}}\,
\end{align}

ahol Sp és Sq részleges szummák:


S_p = \sum_{n=0}^p a_nz^n.\,

Mivel |z| = 1 és a an monoton csökkenő pozitív valós számok ha n > m, akkor írhatjuk:


\begin{align}
\left| 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right)\right| & =
\left| \sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\right| \\
& \le \left[\sum_{n=q+2}^p \left| \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right|\right] +
\left| a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}}\right| + \left| a_pz^{p+\frac{1}{2}}\right| \\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right)\right] +a_{q+1} + a_p \\
& = a_{q+1} - a_p + a_{q+1} + a_p = 2a_{q+1}.\,
\end{align}

Most alkalmazhatjuk a Cauchy-konvergenciakritériumot annak megállapítására, hogy f(z) konvergál a kiválasztott pontnál z ≠ 1, mert sin(½θ) ≠ 0 egy állandó mennyiség, és aq+1 kisebb lesz bármely adott ε > 0 –nál, ha q elég nagy.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Gino Moretti: Functions of a Complex Variable. (hely nélkül): Prentice-Hall, Inc. 1964. 

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. (Moretti, 1964, p. 91)