Variációszámítás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Karthágó megalapítása a Frankfurti Krónikában (1630)

A variációszámítás a matematikai analízis egyik fontos területe. Feladata, hogy adott feltételeknek, általában szélsőértékeknek eleget tevő függvényeket határozzunk meg. Eredete az ókorba nyúlik vissza, a legkorábbi variációszámítási problémát az Aeneis idézi: Dido királyné annyi földet ad Aeneasnak, amennyit egy ökör bőrével körbe tud keríteni. Aeneas, a klasszikus hős, ki nem csak erős és ügyes, de okos is, megoldja a feladatot: a bőrt behasogatja, és ily módon egy hosszú, vékony csíkot tud készíteni, amivel egy hatalmas méretű kört keríthet körbe, ami elég neki és a trójai menekülteknek.

A variációszámítás komolyabb alkalmazásai a frissen kialakuló fizikában jelentek meg. egy tipikus korai probléma a brachisztochron-probléma - két pont között melyik a leggyorsabban bejárható út két pont között? A mechanikát a XVIII. században sikerült variációszámítási módszerekkel egyszerű elvekből levezetni, ennek mintájára épült fel a relativitáselmélet és a kvantummechanika is.

A variációszámítás feladata, módszerei[szerkesztés]

A variáció számítás során bizonyos feltételeknek eleget tevő függvényeket keresünk. Ilyen lehet a két pontot összekötő legrövidebb vonal, egy görbe alatti legkisebb terület, stb...

Ezt legkönnyebben az ismeretlenre vonatkozó, a problémát leíró függvény segítségével tehetjük meg. Ha a szóba jöhető függvények vektorteret alkotnak, akkor az efelett értelmezett lineáris funkcionálok segítségével a variációszámítási feladatok differenciálegyenletek formájában jelentkeznek. Ezek megoldását az Euler-féle differenciálegyenletek segítségével lehet megkeresni.

A funkcionálok ugyanis speciális függvények, méghozzá valamely halmazon értelmezett függvényekhez, mint vektorokhoz számot rendelő függvények. E tekintetben a differenciálszámítás a szélsőértékek megkeresésében segít, csak éppen ezt egy függvényalgebrán kell műveljük.

Az egydimenziós Euler-féle differenciálegyenlet[szerkesztés]

Keressük azt az függvényt, amire az minimális.[1] Ekkor a deriválás tulajdonságai alapján kapjuk, hogy

Ha feltételezzük, hogy megfelelő függvény, akkor ennek egy közelítése az függvény, ahol legalább kétszer folytonosan differenciálható függvény, és . Ekkor az függvény az alábbi alakot veszi fel:

A függvényhez egy megfelelő funkcionál rendelhető, ha peremfeltételként kikötjük, hogy és :

Ennek kísérő feltétele, hogy legyen. Ezzel a probléma egyszerű szélsőérték-problémává redukálódik, miszerint

A továbblépés érdekében tegyük fel, hogy "elég sokszor"[2] differenciálható az vektor körül. Ez lényeges, ugyanis így Taylor-sorba fejthető körülötte, így kapjuk, hogy

ahol az utolsó tag a Landau-féle nagy ordó szimbólum.

Az integrálás linearitását kihasználva az egyes tagokat külön integrálhatjuk:

A második tagot parciálisan integrálhatjuk, majd figyelembe véve -ra tett kikötésünket, kapjuk, hogy

Mivel ennek minden, a feltételnek megfelelő függvény esetén teljesülnie kell, kapjuk:

.

Példa[szerkesztés]

Keressük azt a görbét, ami a és pontokra illeszkedik, és hossza a legrövidebb.

Egy görbe ívhosszát az integrál adja meg. Ebből azonnal adódik, hogy . Erre felírhatjuk az Euler-féle differenciálegyenletet:

.

Mivel nem függ -tól, ezért az első tag nulla. A második tagot először szerint differenciáljuk:

Ezt most szerint deriváljuk. Ezt az összetett függvények deriválási szabálya alapján tehetjük meg:

A megfelelő differenciálegyenlet tehát

aminek nevezője sohasem 0, így a differenciálegyenlet redukálódik a

formára. Ennek megoldása a . Ha figyelembe vesszük a kezdeti paramétereket, akkor az

egyenletrendszert kapjuk. Ennek megoldása: . A keresett függvény tehát:

ami éppen egy egyenes egyenlete.

A differenciálegyenlet általánosított, differenciálgeometriai alakja a tetszőleges geometriában értelmezett "egyenesek", a geodetikusok definiáló egyenlete is egyben.

Klasszikus problémák[szerkesztés]

A variációszámítás néhány kifejezetten érdekes és akár híresnek is tekinthető probléma megoldását is szolgáltatja.

Izoperimetrikus probléma[szerkesztés]

Adott kerületű síkidomok közül melyik a legnagyobb területű? A kérdésre elsőként választ az Aeneisben találhatunk. Természetesen a matematikában ennél megalapozottabb választ szeretnénk kapni. A tételre választ már az ókorban Zenodórosz is adott,[3] Szigorú igazolást lehet ugyan geometriai módszerekkel is adni, de a variációs módszer lényegesen egyszerűbb. Vegyük a görbét paraméteres formában:

.

ekkor az ívhosszat az

integrál adja meg. A területet is ki lehet számítani integrállal:

.

Közelítsük a keresett függvényt egy töröttvonallal. A töröttvonal álljon az sorozat pontjaiból! Ekkor a függvényre diszkrét formában is felírhatjuk a variációs egyenletet. Ha két egymás melletti pontban végzünk módosítást, akkor:

Elég rémisztő, ezért kissé kompaktabb formában nézzük meg:

Ugyanez az egyenlet adódik a terület esetén is.

Ha van egy megoldásunk, akkor vanegy olyan szám, hogy . A két egyenlet egyben felírható variációs elvként is.[4]

Az Euler-féle differenciálegyenlet tehát az

függvényre írható fel:

Ha a t paraméter az ívhosszat jelenti, akkor a fenti két differenciálegyenlet jelentősen egyszerűsödik:

.

Az egyenletrendszer megoldásait az

egyenletek adják. Ez pedig éppen egy (x0;y0) középpontú, λ sugarú kör paraméteres egyenlete. Ezzel a probléma megoldattatott.

Brachisztochron-probléma[szerkesztés]

A leggyorsabban befutható pálya nem egyenes vagy töröttvonal, hanem egy ciklois (pirossal jelölve)

Két pont között melyik a gravitációs erő hatására leggyorsabban befutható pálya?[5]

Tegyük fel, hogy a test csúszás és súrlódásmentesen halad végig a pályán a P1 pontból a P2 pontba.[6] Ekkor a menetidőt az

integrál adja meg, feltéve, hogy s a görbe ívhossza. A sebesség kifejezését az energiamegmaradás tétele segítségével kapjuk meg:

.

Az ívelemet euklideszi térben az

kifejezés adja meg, így kapjuk az integrálra:

.

Erre akár már rá is ugraszthatnánk az Euler-féle differenciálegyenletet, azonban vegyük észre, hogy az integrandus nem tartalmazza x-et expliciten. Ekkor a Beltrami azonosság alapján egyszerűsíthetünk:

.

Ebből megkapjuk a megoldandó egyenletet:

Ezt átrendezve az alábbi kifejezést kapjuk:

A fenti egyenletnek a megoldása paraméteresen:

.

Ez éppen egy ciklois egyenlete.

Mozgástörvények[szerkesztés]

Ha a testet valamilyen hatása éri, milyen pályán fog mozogni?

A test mozgását az L mozgásegyenlet írja le. Ez tartalmazza a hely, sebesség és gyorsulásfüggvényeket:

.

A Maupertuis-elv szerint a test úgy fog mozogni, hogy a hatás a lehető legkisebb[7] legyen. MIvel a hatás a mozgásegyenlet integrálja, ezért

, amire vonatkozóan a szélsőérték feltétele:
.

Erre a függvényre felírhatjuk az Euler-féle egyenletet. Eszerint a rendszer mozgását a

egyenlet írja le. Ha több koordinátától is függ a mozgásegyenlet, akkor ez egy differenciálegyenlet-rendszerre vezet:

Mivel minden egyenlet másodrendű differenciálegyenlet, ezért a megoldásokban egyenletenként 2-2 állandó szerepel.

Inerciarendszernek nevezzük a homogén és izotrop rendszereket. Ezekben a mozgásegyenlet nem tartalmazza sem a hely, sem az időkoordinátát expliciten. Ezért a differenciálegyenlet első tagja azonosan nulla, tehát a feladat redukálódik a

egyenletre.

A tér homogenitása miatt a mozgásegyenletben a sebességnek csak a nagysága szerepelhet, azaz . A differenciálegyenlet megoldása a függvény, ahol c állandó. Tehát inerciarendszerben a test sebessége állandó. Ez egyben Newton I. törvénye is.

A függvény tehát az alakot ölti. Itt a tetszőleges állandó, amit a fizikában -nek választunk, és m-et tömegnek nevezzük.

Két test kölcsönhatásakor a mozgásukon kívül a kettejük közötti kölcsönhatás is szerept játszik, ezt a koordinátáiktól függő függvénnyel vesszük figyelembe. Ekkor a rendszer mozgásegyenlete:

Erre felírva a variációs egyenletet, kapjuk, hogy

Feltételezve, hogy , a két testre vonatkozó mozgásegyenlet:

Ha az egyenletek jobb oldalán álló mennyiségeket F-fel jelöljük, akkor megkaptuk a II. és III. Newton-törvényt is.

Áltlában tehát a fizikai rendszer Lagrange-függvénye két részből áll:

.

Itt K a kinetikai energia, U pedig a potenciális energia névnek örvend.[8]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Lehet maximális is, de visszavezethető erre az esetre (-1)-gyel való szorzás révén
  2. Azaz legalább kétszer
  3. Victor Blåsjö: The Isoperimetric Problem (angol nyelven) (PDF). The Mathematical Association of America. (Hozzáférés: 2022. február 3.)
  4. Tehát egy L függvényre vonatkozó variációs probléma E feltétel esetén felírható feltétel nélkül is, ha a variációt az függvényre vonatkoztatjuk.
  5. Brachistochrone Problem
  6. Fontos, hogy a kiindulási pont legyen magasabban, mint az érkezési, ellenkező esetben a kapott függvényt még külön értelmeznünk is kell. Különösebben nem probléma, csak fölösleges.
  7. Általában szélső értékű
  8. L. D. Landau. Elméleti fizika. Typotex Kiadó (2010. július 26.). ISBN 978-963-2791-28-9 

Források[szerkesztés]

  • I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig. Variációszámítás, Matematikai kézikönyv, 4, TypoTeX Kiadó, 559-570. o. [2000]. ISBN 963-9132-59-4 
  • Kósa András. Differenciálegyenletek, kézirat - 18. változatlan kiadás, 129-140. o. 
  • L. D. Landau. Elméleti fizika. Typotex Kiadó (2010. július 26.). ISBN 978-963-2791-28-9 
  • Victor Blåsjö: The Isoperimetric Problem (angol nyelven) (PDF). The Mathematical Association of America. (Hozzáférés: 2022. február 3.)

Lásd még[szerkesztés]