Termodinamikai munka

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A termodinamika I. főtételében szereplő munka fogalma alatt különböző fizika jellegű munkákat értünk, mint például az elektromos munka, a felületnöveléssel, az elegyítéssel járó munka stb. Ezek közé tartozik a termodinamikai munka (vagy térfogati munka) is, amely nem csak fizikai változások esetén, hanem a gyakran kémiai reakció lejátszódásakor is szükségszerűen fellép.

A fogalom kifejtése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha egy rendszerben – amelyben p nyomás uralkodik – bármilyen halmazállapotú anyagnak megnő a térfogata, a nyomás ellenében munkát kell végeznie, vagy ha csökken a térfogata, akkor a külső nyomás végez munkát. Ezt a munkát nevezzük térfogati munkának.

A térfogati munka értelmezése

A munka az elmozdulásnak (ds) és az erőnek (F) az elmozdulás irányába eső vetületének a szorzata. Egy dugattyúval elzárt, V térfogatú tökéletes gáz térfogatváltozása során fellépő térfogati munka értelmezését mutatja a jobb oldali ábra. Az A felületű dugattyúra p külső nyomás hat, aminek hatására a dugattyú ds távolságra elmozdul, és ez dV = Ads térfogatváltozást okoz. Az állapotváltozás során végzett elemi munka:

\delta W = F \mathrm ds = pA \mathrm ds = - p \mathrm dV \,\!

A negatív előjel onnét származik, hogy megállapodás szerint a munka akkor pozitív, ha a külső erő végzi a rendszeren a munkát, vagyis ha a térfogat csökken. A δ jel arra utal, hogy a munka nem csak a térfogatváltozás nagyságától függ, hanem a munkavégzés körülményeitől is. Pl.: ugyanakkora ΔV térfogatváltozás esetén más-más nagyságú lesz a munka számszerű értéke, ha a folyamat során a nyomás állandó, vagy a hőmérséklet állandó. Ez azt jelenti, hogy a munka nem állapotfüggvény.

A fenti kifejezésből véges változásra vonatkozó térfogati munkát a V1 kezdeti és a változás végén betöltött V2 térfogat közötti integrálással számíthatjuk ki:

 W =  - \int\limits_{V_1}^{V_2} p\mathrm dV

A számításhoz meg kell adni, hogy milyen feltételek között történik a munkavégzés, azaz milyen az állapotváltozás. Példaként az alábbiakban tökéletes gázt választunk, mert erre egzakt összefüggések ismeretesek.

Izoterm állapotváltozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Izoterm állapotváltozás során

 T = c \rightarrow \mathrm{d}T=0 \,\!
T (hőmérséklet) konstans, ezért annak megváltozása 0.
Az izoterm térfogati munka

Ha a hőmérséklet állandó, a belső energia is állandó, vagyis dU = 0, az I. főtétel alapján a rendszerrel közölt, vagy a rendszer által leadott hőmennyiség teljes mennyisége térfogat-növekedésre fordítódik, vagy a térfogatcsökkenésből származik, vagyis

 \delta Q + \delta W = 0 \,\!

és

 \delta Q = p\mathrm dV \,\!

n mol ideális gáz esetén:

p = \frac {nRT} {V} \,\!

és a Boyle–Mariotte-törvény alapján

{V_2 \over V_1}={p_1 \over p_2} \,\!

behelyettesítés és integrálás után a térfogati munka:

W = - \int\limits_{1}^{2} \delta Q = - \int\limits_{V_1}^{V_2} p\mathrm dV = - nRT\ln\left({V_2 \over V_1}\right) = - nRT \ln\left({p_1 \over p_2}\right) \,\!

Adiabatikus állapotváltozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A környezetétől termikusan elszigetelt rendszer állapotváltozását adiabatikus állapotváltozásnak nevezzük, melyben

\delta Q = 0 \,\!

azaz a rendszer és a környezet között semmilyen hőcsere sem lehetséges. A termodinamika I. főtétele alapján és az állandó térfogaton vett moláris hőkapacitás definíció összefüggését felhasználva:

\mathrm dU = -p\mathrm dV = C_V\mathrm dT = nc_V \mathrm dT\,\!
Adiabatikus állapotváltozás

Véges változás esetén 1 mol tökéletes gáz adiabatikus térfogati munkája:

W = \Delta U = \int\limits_{T_1}^{T_2} c_V\mathrm dT = c_V\Delta T \,\!

A kifejezésből – gyakorlatban tapasztaltakkal megegyezően – azt a következtetést lehet levonni, hogy az adiabatikusan összenyomott gáz fölmelegszik (pl.: a biciklipumpa, a dízelmotorok működése stb.), adiabatikusan kitáguló pedig lehűl. (lásd a kiszúrt szódavizes patron jegesedése, gázok cseppfolyósítása stb.).

Felhasználva a tökéletes gázok állandó nyomáson és állandó térfogaton mért moláris hőkapacitás közötti

 R = c_p-c_V \,\!

összefüggést, valamint az adiabatikus kitevő definíció egyenletét:

 \kappa = \frac {c_p} {c_V} \,\!

az adiabatikus térfogati munka az alábbi módon is kiszámítható:

W = \int\limits_{T_1}^{T_2} \frac {R} {\kappa -1} \mathrm dT = \frac {R} {\kappa -1} \Delta T \,\!

Kiindulva a

 -p\mathrm dV = c_V\mathrm dT \,\!

összefüggésből, és behelyettesítve az általános gáztörvényből a nyomás

p = \frac {RT} {V}

kifejezését, az állapotjelzők közötti Poisson-egyenletekhez juthatunk.

A termodinamika Poisson-egyenletei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ehhez a behelyettesítés és rendezés után kapott

\frac {\mathrm dT} {T} = - (\frac {R} {c_V}) \frac {dV} {V}

differenciálegyenletet kell integrálni. Integrálás után az egyik Poisson-egyenletet kapjuk:

TV^{(\kappa-1)}= c (konstans) \,\!

Az általános gáztörvényből T-t kifejezve és behelyettesítve, a

pV^{\kappa} = c \,\!

egy másik Poisson-egyenletet kapunk , ami az adiabata egyenlete. Kisebb átalakítás után a harmadik Poisson-egyenlethez juthatunk:

Tp^{\frac {1-\kappa} {\kappa}}= c \,\!

Politróp állapotváltozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Politróp állapotváltozás

Adiabatikus folyamatot szigorúan véve a gyakorlatban nem lehet megvalósítani, mert a rendszer tökéletesen nem szigetelhető el a környezetétől. Úgyszintén nem létezik tökéletesen izoterm folyamat sem. A gyakorlatban végbemenő folyamatot politrópnak nevezzük és a két állapotváltozás „között” zajlik, ennek megfelelően a politrópa egyenlete:

pV^m = c \,\!

amelyben

1 \leq m \leq \kappa \,\!

vagyis a politrópa az izoterma és az adiabata „között” halad. A politróp változás során végzett térfogati munka – az adiabatikushoz hasonló tipusú – összefüggéssel számítható:

W = \int\limits_{T_1}^{T_2} \frac {R} {m -1} \mathrm dT = \frac {R} {m -1} \Delta T \,\!

Izochor állapotváltozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Izochor állapotváltozás

Izochor állapotváltozás során a rendszer térfogata állandó:

dV = 0,

vagyis:

W = -\int\limits_{V_1}^{V_2} p \mathrm dV = 0 \,\!

Tehát izochor állapotváltozás során nincs térfogati munka. A rendszerrel közölt hő a rendszer belső energiájának növelésére fordítódik, vagy a rendszer által leadott hő a belső energia csökkenéséből származik:

\Delta U = Q_V =\int\limits_{T_1}^{T_2} C_V \mathrm dT =C_V \Delta T \,\!

Izobár állapotváltozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Izobár állapotváltozás

Az izobár állapotváltozás során a nyomás állandó:

dp = 0,

vagyis az integrálás egyszerűen elvégezhető:

W = -\int\limits_{V_1}^{V_2} p \mathrm dV = - p (V_2-V_1) = - p\Delta V \,\!

Ha tehát állandó nyomáson növeljük a rendszer hőmérsékletét, akkor a térfogata nő, a rendszer munkát végez a környezetén, vagy fordítva, a hőmérséklet csökkentése esetén a környezet végez a rendszeren munkát.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]