Szögfelezőtétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A Di, De pontok helye csak az AC/BC aránytól függ

A szögfelező- vagy Apollóniusz-tétel az Euklideszi geometria egyik tétele, amely szerint egy háromszög szögfelezőinek talpponja a szomszédos oldalak arányában osztja a szemközti oldalt:

ahol:

A, B és C a háromszög csúcsai,
Di és De a C-ből induló belső és külső szögfelező talppontja

Bizonyítása[szerkesztés]

Párhuzamos szelőkkel[szerkesztés]

BCB’ 2 egyenlő szárú háromszög, amelynek az alapja és a magassága párhuzamos a szögfelezőkkel

Belső szögfelezőre:

Az egyik alapon levő, például a B csúcsból párhuzamost húzok a belső szögfelezővel, ez metszi az AC egyenest egy B’2 pontban. A külső szögfelezőre való tükrözés után B képe BB’2 egyenesen marad, mert a belső szögfelező merőleges a külsőre, és B képe a CB képén, CB’2 egyenesen is rajta lesz, tehát B képe B’2, tehát BC = CB’2. A párhuzamos szelők tétele miatt .

A külső szögfelezőre hasonlóan megy.

Szinusztétel használatával[szerkesztés]

A szinusztételbe beírva azonnal adódik a kívánt összefüggés:

Külső szögfelezőre ugyanígy.

Megfordítása[szerkesztés]

Egy lehetséges megfordítás: ha adott A, B, C és Di hogy , akkor igaz-e, hogy ACDi< szög egyenlő BCDi< szöggel.

Duálisa[szerkesztés]

A távolság és szög (szinusza) fogalmakat felcserélve jutunk a szögfelezőtétel duálisához. Az oldalfelezőtétel szerint egy háromszögben egy szöget a szemközti oldalfelezőponttal összekötő egyenes szinuszosan olyan arányban oszt, mint a szemben levő oldalon a megfelelő szögek szinuszai. Ez nem túl nevezetes összefüggés, de igazolható a szinusztétel segítségével.


Apollóniusz-kör[szerkesztés]

A szögfelezőtétel következménye, hogy az olyan pontokból, amelyeknek két adott ponttól, A-tól és B-től vett távolságaik aránya egy adott állandó, merőlegesen fog látszódni a külső és belső szögfelező talppontja, tehát rajta lesz azok Thalész-körén.