„Háromszög-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
→A tétel általánosításai: komplex számokra |
|||
71. sor: | 71. sor: | ||
:<math>\Big| |x|{-}|y|\Big| \le |x{\pm}y| \le |x|{+}|y|</math> minden <math>x,\,y\in\R</math>-re. |
:<math>\Big| |x|{-}|y|\Big| \le |x{\pm}y| \le |x|{+}|y|</math> minden <math>x,\,y\in\R</math>-re. |
||
===Komplex számokra=== |
|||
Komplex számokra a háromszög-egyenlőtlenség:: |
|||
:<math>|z_1{}+z_2| \le |z_1|{+}|z_2|.</math> |
|||
'''Bizonyítás:''' |
|||
Mivel egyik oldal sem lehet negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás: |
|||
:<math> |
|||
z_1\overline{z_1}{+}z_1\overline{z_2}{+}{\underbrace{\overline{z_1}z_2}_{=\overline{z_1\overline{z_2}}}}{+}z_2\overline{z_2}\ |
|||
\le\ z_1\overline{z_1}{+}2{\underbrace{|z_1 z_2|}_{=|z_1\overline{z_2}|}}{+}z_2\overline{z_2}, |
|||
</math> |
|||
ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A két oldalról eltávolítva az egyenlő tagokat, és a <math>z\mathrel{:=\,} z_1\overline{z_2}</math> helyettesítést elvégezve |
|||
:<math>z{+}\bar z \le 2{|z|}</math> |
|||
A ''z'' komplex szám algebrai alakja legyen <math>z = u{+}iv</math>. Ezzel |
|||
:<math>(u{+}iv){+}(u{-}iv) = 2u \le 2\sqrt{u^2{+}v^2}</math> |
|||
és |
|||
:<math>|u| \le \sqrt{u^2{+}v^2},</math> |
|||
ami <math>0 \le v^2\ </math> és a valós négyzetgyökfüggvény monotóniája miatt mindig fennáll. |
|||
== Forrás == |
== Forrás == |
A lap 2010. július 30., 14:57-kori változata
A háromszög-egyenlőtlenség a trigonometria egyik legfontosabb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni.
Az egyenlőtlenség tovább általánosítható valós és komplex számokra, összegzésekre, integrálokra, és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét abszolútértékek és különféle normák veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is.
A tétel
A háromszög bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz: , és .
A tétel ekvivalens alakja: , és
Bizonyítás:
-t elég bizonyítani. Hosszabbítsuk meg az oldalt, és felmérjük a távolságot a meghosszabbított félegyenesre, így kapjuk a szakaszt. háromszög egyenlő szárú, ekkor szög = szög. az szög belsejében halad, ekkor szög > szög = szög, így . Ez viszont éppen a tételben szereplő .
Metrikus interpretáció
A háromszög-egyenlőtlenség biztosítja, hogy a kétdimenziós (általánosabban, az n-dimenziós) euklideszi tér tetszőleges három A,B,C pontjára igaz legyen, hogy bármely kettő pár egymástól mért távolságainak összege nagyobb, mint a harmadik pár közt mért távolsága:
Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "két pont között a legrövidebb út az egyenes", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.
A tétel általánosításai
Valós számokra
Valós számokra:
Bizonyítás:
Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
Mindkét oldalból kivonva az azonos tagokat:
és ez mindig teljesül, mert
minden -re.
Valós számokra önállóan is belátható a háromszög-egyenlőtlenség kivonásos alakja:
Nyilván
Az
helyettesítéssel
Viszont, ha
akkor
Az előző két egyenlőtlenséget összetéve
y helyére -y-t téve
Összefoglalva
- minden -re.
Komplex számokra
Komplex számokra a háromszög-egyenlőtlenség::
Bizonyítás:
Mivel egyik oldal sem lehet negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A két oldalról eltávolítva az egyenlő tagokat, és a helyettesítést elvégezve
A z komplex szám algebrai alakja legyen . Ezzel
és
ami és a valós négyzetgyökfüggvény monotóniája miatt mindig fennáll.
Forrás
- Obádovics J. Gyula: Matematika