Háromszög-egyenlőtlenség

A háromszög-egyenlőtlenség a trigonometria egyik legfontosabb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni.

Az egyenlőtlenség tovább általánosítható valós és komplex számokra, összegzésekre, integrálokra, és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét abszolútértékek és különféle normák veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is.

A tétel

A háromszög bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz: $a<b+c$, $b<a+c$ és $c<a+b$.

A tétel ekvivalens alakja: $a-b<c$, $b-c<a$ és $c-a<b$

Bizonyítás:

$AC+CB>AB$ -t elég bizonyítani. Hosszabbítsuk meg az $AC$ oldalt, és felmérjük a $CB$ távolságot a meghosszabbított félegyenesre, így kapjuk a $CD$ szakaszt. $BCD$ háromszög egyenlő szárú, ekkor $CBD$ szög = $CDB$ szög. $BC$ az $ABD$ szög belsejében halad, ekkor $ABD$ szög > $CBD$ szög = $CDB$ szög, így $AD>AB$. Ez viszont éppen a tételben szereplő $a+b>c$.

Metrikus interpretáció

A háromszög-egyenlőtlenség biztosítja, hogy a kétdimenziós (általánosabban, az n-dimenziós) euklideszi tér tetszőleges három A,B,C pontjára igaz legyen, hogy bármely kettő pár egymástól mért távolságainak összege nagyobb, mint a harmadik pár közt mért távolsága:

AB+BC≥AC BC+CA≥BA CA+AB≥BC

Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "két pont között a legrövidebb út az egyenes", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.

A tétel általánosításai

Valós számokra

Valós számokra: $|a+b|\leq |a|{+}|b|.$

Bizonyítás:

Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:

$a^{2}{+}2ab{+}b^{2}\ \leq \ a^{2}{+}2{|ab|}{+}b^{2}.$

Mindkét oldalból kivonva az azonos tagokat:

$2ab\leq 2|ab|.$

és ez mindig teljesül, mert

$x\leq {|x|}$ minden $x\in \mathbb {R} .$-re.

Valós számokra önállóan is belátható a háromszög-egyenlőtlenség kivonásos alakja:

Nyilván $|a{+}b|{-}|b|\leq |a|.$

Az

$a{\mathrel {:=\,}}x{+}y,\,b{\mathrel {:=\,}}{-}y$

helyettesítéssel

$|x|{-}|y|\leq |x{+}y|.$

Viszont, ha

$b{\mathrel {:=\,}}{-}x$

akkor

$|y|{-}|x|\leq |x{+}y|,$

Az előző két egyenlőtlenséget összetéve

${\Big |}|x|{-}|y|{\Big |}\leq |x{+}y|\leq |x|{+}|y|.$

y helyére -y-t téve

${\Big |}|x|{-}|y|{\Big |}\leq |x{-}y|\leq |x|{+}|y|.$

Összefoglalva

${\Big |}|x|{-}|y|{\Big |}\leq |x{\pm }y|\leq |x|{+}|y|$ minden $x,\,y\in \mathbb {R}$-re.

Forrás

• Obádovics J. Gyula: Matematika