Disztributivitás

A disztributivitás két matematikai műveletet összekapcsoló tulajdonság. Akkor mondjuk, hogy egy művelet (jelölje ⊕) disztributív egy másik (mondjuk ×-tel jelölt) műveletre nézve, ha minden elem esetén azonos végeredményre jutunk

• akkor is, ha két elem × műveletének eredményén és egy harmadik elemen végrehajtjuk a ⊕ műveletet,
• illetve akkor is, ha előbb a harmadik elemmel külön-külön össze-⊕-műveletezzük az első kettőt, majd a két eredményt össze-×-műveletezzük.

Ha a ⊕ művelet nem kommutatív, akkor megkülönböztethető bal oldali és jobb oldali disztributivitás. E jelzők elhagyása egyszerre mindkét oldali disztributivitásra utal.

Definíció

Legyen $(A;+,*)$ tetszőleges matematikai struktúra, ahol a $+$ és a $*$ kétváltozós művelet. Akkor mondjuk, hogy a $*$ művelet disztributív a $+$ műveletre nézve (illetve, hogy a $(A;+,*)$ struktúra disztributív), ha $A$ halmaz minden $a,b,c$ elemére teljesül, hogy

$(a+b)*c=(a*c)+(b*c)\,$, és

$a*(b+c)=(a*b)+(a*c)\,$.

Példák

• A valós számokon értelmezett összeadás és szorzás esetében a szorzás disztributív az összeadásra (azonban az összeadás nem disztributív a szorzásra):

$\forall a,b,c\in \mathbb {R} :\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

• Legyen $A,B,C$ három halmaz. A közöttük értelmezett egyesítés és metszetképzés kölcsönösen disztributív egymásra.

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$, illetve

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.

Disztributív struktúrák

• Gyűrű
• Integritástartomány
• Test

Lásd még

• Asszociativitás
• Kommutativitás

Hivatkozások

• Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)
• Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)