„Σ-algebra” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
a Robot: következő hozzáadása: ro:Sigma-algebră |
a kozmetikai javítások |
||
2. sor: | 2. sor: | ||
== Formális definíció == |
== Formális definíció == |
||
=== Axiómák === |
=== Axiómák === |
||
Legyen |
Legyen Ω tetszőleges halmaz, ''P''(Ω) az Ω [[részhalmaz]]aiból álló [[hatványhalmaz]], és legyen <big>''A''</big>⊆''P''(Ω) az Ω egy részhalmazai halmaza. |
||
Az <big>''A''</big> halmazt az |
Az <big>''A''</big> halmazt az Ω halmaz feletti '''σ-algebrá'''nak nevezzük, ha teljesülnek a következő tulajdonságok: |
||
{| align=center border=0 width=95% cellpadding=3 |
{| align=center border=0 width=95% cellpadding=3 |
||
13. sor: | 12. sor: | ||
|| 1. || <big>''A''</big> nem [[Üres halmaz|üres]], || azaz || <big>''A''</big>≠∅ |
|| 1. || <big>''A''</big> nem [[Üres halmaz|üres]], || azaz || <big>''A''</big>≠∅ |
||
|- |
|- |
||
|| 2. || <big>''A''</big> tartalmazza bármely eleme <br>( |
|| 2. || <big>''A''</big> tartalmazza bármely eleme <br>(Ω-ra vonatkozó) [[komplementer]]ét, <br> vagyis zárt a komplementer- <br>képzés műveletére; || azaz || A∈<big>''A''</big> ⇒ <font style="text-decoration: overline;">A</font>∈<big>''A''</big> |
||
|- |
|- |
||
|| 3. || <big>''A''</big> tartalmazza bármely legfeljebb <br> megszámlálható [[halmazrendszer|halmazcsaládja]] [[unió]]ját, <br> vagyis zárt a <br> megszámlálható unióképzésre.|| azaz || <math>(q_{i})_{i \in \mathbb{N}} \in \ ^{\mathbb{N}} \mathcal{P}(\mathcal{A}) \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb{N}} q_{i} </math> |
|| 3. || <big>''A''</big> tartalmazza bármely legfeljebb <br> megszámlálható [[halmazrendszer|halmazcsaládja]] [[unió]]ját, <br> vagyis zárt a <br> megszámlálható unióképzésre.|| azaz || <math>(q_{i})_{i \in \mathbb{N}} \in \ ^{\mathbb{N}} \mathcal{P}(\mathcal{A}) \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb{N}} q_{i} </math> |
||
|} |
|} |
||
Az utolsó axiómában <sup>'''N'''</sup>''P''(<big>''A''</big>) értelemszerűen az <big>''A''</big> elemeiből alkotott megszámlálhatóan végtelen mérhetőhalmaz-[[sorozat]]ok halmazát jelöli, (''q''<sub>i</sub>)<sub> |
Az utolsó axiómában <sup>'''N'''</sup>''P''(<big>''A''</big>) értelemszerűen az <big>''A''</big> elemeiből alkotott megszámlálhatóan végtelen mérhetőhalmaz-[[sorozat]]ok halmazát jelöli, (''q''<sub>i</sub>)<sub>i∈'''N'''</sub> egy ide eső sorozatot; és szokásosabb jelölésmóddal arról van szó, hogy ha A<sub>0</sub>, A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, ..., A<sub>n</sub>, ... egy ilyen sorozat, akkor <math>\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{A}</math> kell hogy teljesüljön. Éppen innen ered a fogalom elnevezése is, mivel az <math>\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{i}</math>-t régies jelöléssel <math>\sum_{i=0}^{\infty} A_{i}</math>-nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok szigma jellel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden '''σ-zártság'''nak szokás nevezni. |
||
Amint a [[Halmazalgebra#Definíciók|halmazalgebra]] cikkben olvasható, az 1. axióma helyettesíthető akár az "<big>''A''</big> tartalmazza az üres halmazt", akár az "<big>''A''</big> tartalmazza az univerzális halmazt ( |
Amint a [[Halmazalgebra#Definíciók|halmazalgebra]] cikkben olvasható, az 1. axióma helyettesíthető akár az "<big>''A''</big> tartalmazza az üres halmazt", akár az "<big>''A''</big> tartalmazza az univerzális halmazt (Ω-t, avagy a [[biztos esemény]]t)" tulajdonsággal, azaz az |
||
<center>∅∈<big>''A''</big></center> |
<center>∅∈<big>''A''</big></center> |
||
<u>vagy</u> akár az |
<u>vagy</u> akár az |
||
<center> |
<center>Ω∈<big>''A''</big></center> |
||
axiómákkal, a 2. axióma pedig helyettesíthető az "<big>''A''</big> zárt a [[különbség]]képzésre" |
axiómákkal, a 2. axióma pedig helyettesíthető az "<big>''A''</big> zárt a [[különbség]]képzésre" |
||
<center>(A,B∈<big>''A''</big> ⇒ A\B∈<big>''A''</big>)</center> axiómával is. |
<center>(A,B∈<big>''A''</big> ⇒ A\B∈<big>''A''</big>)</center> axiómával is. |
||
A fogalom analogonja megfogalmazható az |
A fogalom analogonja megfogalmazható az Ω feletti [[halmazrendszer]]ek esetére is. |
||
=== Mérhető tér === |
=== Mérhető tér === |
||
Az ( |
Az (Ω, <big>''A''</big>) [[rendezett pár]]-t '''mérhető tér'''-nek nevezzük, <big>''A''</big> elemeit pedig '''mérhető halmaz'''oknak. |
||
=== Összefüggés más struktúratípusokkal === |
=== Összefüggés más struktúratípusokkal === |
||
A szigma-algebrához legközelebbi struktúrafajta a [[λ-rendszer]] fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a szigma-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha |
A szigma-algebrához legközelebbi struktúrafajta a [[λ-rendszer]] fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a szigma-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha λ-rendszer és π-rendszer (azaz megszámlálható metszet-zárt) is egyben <ref> Ambar N. Sengupta: ''[http://www.math.lsu.edu/~sengupta/7312s02/sigmaalg.pdf Sigma Algebras]'' ([[pdf]]-jegyzet, v. 2007. 08. 05. 23:51.).</ref>. |
||
Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy <big>''A''</big> véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az [[halmaztest|egyszerű halmaztest]] fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a [[topologikus tér]] fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény <ref>Pl. az |
Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy <big>''A''</big> véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az [[halmaztest|egyszerű halmaztest]] fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a [[topologikus tér]] fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény <ref>Pl. az Ψ = {1,2} halmazon az <big>''A''</big> = {∅, {1}, {1,2}} halmaz egy [[topologikus tér|topológiát]] alkot, zárt az uniójra és a metszetképzésre, de nem alkot σ-algebrát: az {1,2}\{1} = {2} halmaz nem tagja <big>''A''</big>-nak.</ref> |
||
Bár egy egykomponensű topologikus struktúra igazából egy halmazból és egy efeletti egyetlen halmazcsaládból képezett [[rendezett pár]], a Borel-féle halmaztesten nem ezt, hanem e párnak csak a második tagját szokás érteni. Tehát az |
Bár egy egykomponensű topologikus struktúra igazából egy halmazból és egy efeletti egyetlen halmazcsaládból képezett [[rendezett pár]], a Borel-féle halmaztesten nem ezt, hanem e párnak csak a második tagját szokás érteni. Tehát az Ω feletti Borel-féle halmaztest vagy σ-algebra az Ω részhalmazainak egy megfelelő <big>''A''</big> halmaza. Magát az (Ω, <big>''A''</big>) párt '''mérhető tér'''nek szokás nevezni (a Borel-féle halmaztest és a mérhető tér fogalma közti különbség általában kevéssé releváns<!--ezért vettem egy cikkbe-->). |
||
== Halmazelméleti-algebrai tulajdonságok == |
== Halmazelméleti-algebrai tulajdonságok == |
||
=== Halmazalgebra === |
=== Halmazalgebra === |
||
Tetszőleges |
Tetszőleges σ-algebra egyben [[halmazalgebra]] is, tehát zárt a véges metszetképzésre, illetve az összes tag uniója megegyezik az Ω tartóhalmazzal ([[halmazalgebra#Metszetképzésre való zártság|l.o.]]). |
||
=== Megszámlálható metszetképzésre való zártság === |
=== Megszámlálható metszetképzésre való zártság === |
||
61. sor: | 59. sor: | ||
=== Leszűkítés === |
=== Leszűkítés === |
||
Legyen |
Legyen Ω tetszőleges halmaz, Λ⊆Ω és <big>''A''</big> szigma-algebra az Ω felett. Legyen továbbá <big>''A''</big><sub>|Λ</sub> := <big>{</big>'''X'''∩Λ | '''X'''∈<big>''A''</big><big>}</big>. Ekkor (Λ, <big>''A''</big><sub>|Λ</sub>) mérhető tér az Ω felett, amit az (Ω <big>''A''</big>) tér Λ-ra vonatkozó '''leszűkítés'''ének nevezünk és (Ω <big>''A''</big>)<sub>|Λ</sub> jelöl. |
||
=== Generált algebra === |
=== Generált algebra === |
||
69. sor: | 67. sor: | ||
Igen fontos eszköz a szigma-algebrák definiálásakor a következő tétel által leírt konstrukció: |
Igen fontos eszköz a szigma-algebrák definiálásakor a következő tétel által leírt konstrukció: |
||
'''Tétel''': Legyen |
'''Tétel''': Legyen Ω tetszőleges halmaz, és <big>''G''</big>⊆''P''(Ω) az Ω részhalmazainak egy családja! Ekkor létezik olyan Ω feletti σ(<big>''G''</big>) szigma-algebra, amelynek <big>''A''</big> minden eleme a tagja; és amely a legszűkebb ([[legkisebb elem|legkisebb]]) a ⊆ relációra nézve; azaz bármely más, az R elemeit elemként tartalmazó szigma-algebrának a részhalmaza (további részletek a fő szócikkben). |
||
=== Szorzattér === |
=== Szorzattér === |
||
Ha ( |
Ha (Φ, <big>''X''</big>) és (Ψ, <big>''Y''</big>) két [[#Mérhető tér|mérhető tér]], akkor a <big>(</big>Φ×Ψ, σ(<big>''X''</big>×<big>''Y''</big><big>)</big><big>)</big> is mérhető tér. Ezt a két mérhető étr által generált '''szorzattér'''nek vagy szorzat-σ-algebrának mondjuk. |
||
== Példák == |
== Példák == |
||
# Tetszőleges nemüres |
# Tetszőleges nemüres Ω halmaz felett σ-algebrát alkot a csak az üres és az univerzális halmazból álló kételemű {∅, Ω} halmaz, ez az Ω feletti '''triviális σ-algebra'''. |
||
# Tetszőleges nemüres |
# Tetszőleges nemüres Ω halmaz esetén a teljes Ω⊆''P''(Ω) halmaz is halmazalgebra, az Ω feletti '''teljes σ-algebra'''. |
||
# Tetszőleges véges |
# Tetszőleges véges Ω halmaz feletti halmazalgebra mindig szigma-algebra is, hiszen bármely végtelen uniónak effektíve csak véges sok tagja van (értve ezen azt, hogy a tagok közül csak véges sok lehet különböző, hiszen véges halmaznak csak véges sok részhalmaza – így az efeletti szigma-algebráknak csak véges sok tagja – lehet). Így pl. az Ω := {1,2,3,4,5,6} feletti egy Borel-halmaztest a {∅, {1,3,5}, {2,4,6}, Ω} halmaz. Valószínűségszámítási szempontból ez azért tanulságos példa, mert jelzi, hogy egy eseményalgebrának nem szükséges minden kimenetelt mint elemi eseményt (az Ω egyelemű halmazait) tartalmaznia (ha mindegyiket tartalmazza, akkor véges Ω esetében épp a teljes eseményalgebráról van szó). Ld. még [[atomhalmaz]]. |
||
# Fontosabb, de bonyolultabban definiálható példák a [[generált σ-algebra]] c. fejezetben. |
# Fontosabb, de bonyolultabban definiálható példák a [[generált σ-algebra]] c. fejezetben. |
||
A lap 2008. július 9., 20:49-kori változata
A σ-algebra vagy Borel-féle halmaztest, illetve mérhető tér a matematikai struktúrák egy fajtája. Olyan egyszerű (nem-többszörös), egykomponensű topologikus struktúra, amely amellett, hogy egyszerű halmaztestet (halmazalgebrát) képez, az elemei (az ún. „mérhető/nyílt halmazok”) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tagú egyesítésére is zárt.
Formális definíció
Axiómák
Legyen Ω tetszőleges halmaz, P(Ω) az Ω részhalmazaiból álló hatványhalmaz, és legyen A⊆P(Ω) az Ω egy részhalmazai halmaza.
Az A halmazt az Ω halmaz feletti σ-algebrának nevezzük, ha teljesülnek a következő tulajdonságok:
1. | A nem üres, | azaz | A≠∅ |
2. | A tartalmazza bármely eleme (Ω-ra vonatkozó) komplementerét, vagyis zárt a komplementer- képzés műveletére; |
azaz | A∈A ⇒ A∈A |
3. | A tartalmazza bármely legfeljebb megszámlálható halmazcsaládja unióját, vagyis zárt a megszámlálható unióképzésre. |
azaz |
Az utolsó axiómában NP(A) értelemszerűen az A elemeiből alkotott megszámlálhatóan végtelen mérhetőhalmaz-sorozatok halmazát jelöli, (qi)i∈N egy ide eső sorozatot; és szokásosabb jelölésmóddal arról van szó, hogy ha A0, A1, A2, ..., An, ... egy ilyen sorozat, akkor kell hogy teljesüljön. Éppen innen ered a fogalom elnevezése is, mivel az -t régies jelöléssel -nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok szigma jellel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden σ-zártságnak szokás nevezni.
Amint a halmazalgebra cikkben olvasható, az 1. axióma helyettesíthető akár az "A tartalmazza az üres halmazt", akár az "A tartalmazza az univerzális halmazt (Ω-t, avagy a biztos eseményt)" tulajdonsággal, azaz az
vagy akár az
axiómákkal, a 2. axióma pedig helyettesíthető az "A zárt a különbségképzésre"
axiómával is.
A fogalom analogonja megfogalmazható az Ω feletti halmazrendszerek esetére is.
Mérhető tér
Az (Ω, A) rendezett pár-t mérhető tér-nek nevezzük, A elemeit pedig mérhető halmazoknak.
Összefüggés más struktúratípusokkal
A szigma-algebrához legközelebbi struktúrafajta a λ-rendszer fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a szigma-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha λ-rendszer és π-rendszer (azaz megszámlálható metszet-zárt) is egyben [1].
Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy A véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az egyszerű halmaztest fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a topologikus tér fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény [2]
Bár egy egykomponensű topologikus struktúra igazából egy halmazból és egy efeletti egyetlen halmazcsaládból képezett rendezett pár, a Borel-féle halmaztesten nem ezt, hanem e párnak csak a második tagját szokás érteni. Tehát az Ω feletti Borel-féle halmaztest vagy σ-algebra az Ω részhalmazainak egy megfelelő A halmaza. Magát az (Ω, A) párt mérhető térnek szokás nevezni (a Borel-féle halmaztest és a mérhető tér fogalma közti különbség általában kevéssé releváns).
Halmazelméleti-algebrai tulajdonságok
Halmazalgebra
Tetszőleges σ-algebra egyben halmazalgebra is, tehát zárt a véges metszetképzésre, illetve az összes tag uniója megegyezik az Ω tartóhalmazzal (l.o.).
Megszámlálható metszetképzésre való zártság
A halmazalgebrákhoz képest egy szigmaalgebra a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tényezős metszetképzésre is zárt. E kijelentés alapja a De Morgan-törvény általánosítása végtelen unióra/metszetre: ha I tetszőleges indexhalmaz, akkor
Képezve mindkét oldal komplementerét:
Ha mármost szigma-algebrában vagyunk, azaz A0, A1, ..., An, ... legfeljebb megszámlálható sok tagú A-beli halmazsorozat, akkor a fentieknek megfelelően
Ha A szigma-algebra, akkor Ai∈A-nak minden i∈N-re, és így utóbbi komplementerhalmazok diszjunkt uniója is eleme A-nak, ■ QED.
Leszűkítés
Legyen Ω tetszőleges halmaz, Λ⊆Ω és A szigma-algebra az Ω felett. Legyen továbbá A|Λ := {X∩Λ | X∈A}. Ekkor (Λ, A|Λ) mérhető tér az Ω felett, amit az (Ω A) tér Λ-ra vonatkozó leszűkítésének nevezünk és (Ω A)|Λ jelöl.
Generált algebra
Igen fontos eszköz a szigma-algebrák definiálásakor a következő tétel által leírt konstrukció:
Tétel: Legyen Ω tetszőleges halmaz, és G⊆P(Ω) az Ω részhalmazainak egy családja! Ekkor létezik olyan Ω feletti σ(G) szigma-algebra, amelynek A minden eleme a tagja; és amely a legszűkebb (legkisebb) a ⊆ relációra nézve; azaz bármely más, az R elemeit elemként tartalmazó szigma-algebrának a részhalmaza (további részletek a fő szócikkben).
Szorzattér
Ha (Φ, X) és (Ψ, Y) két mérhető tér, akkor a (Φ×Ψ, σ(X×Y)) is mérhető tér. Ezt a két mérhető étr által generált szorzattérnek vagy szorzat-σ-algebrának mondjuk.
Példák
- Tetszőleges nemüres Ω halmaz felett σ-algebrát alkot a csak az üres és az univerzális halmazból álló kételemű {∅, Ω} halmaz, ez az Ω feletti triviális σ-algebra.
- Tetszőleges nemüres Ω halmaz esetén a teljes Ω⊆P(Ω) halmaz is halmazalgebra, az Ω feletti teljes σ-algebra.
- Tetszőleges véges Ω halmaz feletti halmazalgebra mindig szigma-algebra is, hiszen bármely végtelen uniónak effektíve csak véges sok tagja van (értve ezen azt, hogy a tagok közül csak véges sok lehet különböző, hiszen véges halmaznak csak véges sok részhalmaza – így az efeletti szigma-algebráknak csak véges sok tagja – lehet). Így pl. az Ω := {1,2,3,4,5,6} feletti egy Borel-halmaztest a {∅, {1,3,5}, {2,4,6}, Ω} halmaz. Valószínűségszámítási szempontból ez azért tanulságos példa, mert jelzi, hogy egy eseményalgebrának nem szükséges minden kimenetelt mint elemi eseményt (az Ω egyelemű halmazait) tartalmaznia (ha mindegyiket tartalmazza, akkor véges Ω esetében épp a teljes eseményalgebráról van szó). Ld. még atomhalmaz.
- Fontosabb, de bonyolultabban definiálható példák a generált σ-algebra c. fejezetben.
Hivatkozások
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ Ambar N. Sengupta: Sigma Algebras (pdf-jegyzet, v. 2007. 08. 05. 23:51.).
- ↑ Pl. az Ψ = {1,2} halmazon az A = {∅, {1}, {1,2}} halmaz egy topológiát alkot, zárt az uniójra és a metszetképzésre, de nem alkot σ-algebrát: az {1,2}\{1} = {2} halmaz nem tagja A-nak.