„Gömbkoordináták” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2022. május 21., 19:43-kori változata

A koordinátageometriában a gömbi koordináták vagy térbeli polárkoordináta-rendszer egy háromdimenziós koordinátarendszer, amiben a pontok helyét az origótól mért távolságuk és két szög adja meg.

Az origó középpontú gömbökön az origótól mért távolság konstans. Így ezeken a felületeken a pontok helyét két szöggel lehet meghatározni. Ezek a gömbi koordináták.^[1]^[2] A gömbi koordináták kifejezést pontatlanul alkalmazhatják az általános esetre és a speciális esetre is.

A gömbi koordináták a síkbeli polárkoordináta-rendszer egyik általánosítása. Egy másik általánosítás a hengerkoordináta-rendszer.

Konvenciók

Definíció

Egy gömbi koordinátarendszert a háromdimenziós euklideszi térben a következők határoznak meg:

egy $O$ középpont, origó
egy, az origón áthaladó irányított egyenes (pólustengely). Ez tűzi ki a pólus irányát, és ez rögzíti az egyenlítősíkot is, ami az origóban a pólusegyenesre állított merőleges sík
egy rögzített irány az egyenlítősíkon

Gyakran egy Descartes-féle koordinátarendszert is használnak a gömbi koordinátarendszerrel együtt. Ekkor:

annak origója a gömbi koordinátarendszer origója
annak pólustengelye a z-tengely (így az x és y-tengelyek az egyenlítősíkban vannak
annak x-tengelye az egyenlítősíkon rögzített irány, így az y-tengely is egyértelműen meghatározott

A matematikában és a fizikában általában a következő koordinátákat használják:

$r$ a sugár, a pont origótól mért távolsága
$\theta$ vagy $\vartheta$ ,^[3] polárszög vagy polártávolságszög,^[4] a pólusirány és az origóból a ponthoz húzott irányított szakasz szöge. Ez a szög $0$ és $\pi$ közötti (0°-tól 180°-ig terjed), és a gömbfelületen egy kört határoz meg, ami a szélességi kör megfelelője.
$\varphi$ vagy $\phi$ ,^[3] azimutszög,^[4] az egyenlítősíkban rögzített irány és az origó és a pont közötti szakasz merőleges vetületének szöge. Ennek nagysága $-\pi$ -től $\pi$ -ig (−180°-tól 180°-ig) vagy 0-tól $2\pi$ -ig terjed (0°-tól 360°-ig). A hosszúsági szög mgfelelője.

Átszámítások

Minden $(r,\theta ,\varphi )$ hármashoz hozzá van rendelve egy pont. Koordinátái a fentiek szerint választott Descartes-koordinátarendszerben:

{\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}

Ezekbe az egyenletekbe bármely $r$ , $\theta$ és $\varphi$ koordináta behelyettesíthető. Ahhoz, hogy a koordináták egyértelműek legyenek, korlátozni kell értékeiket. Általában: $r$ nemnegatív, $\theta$ értéke $[0,\pi ]$ illetve [0, 180°] eleme, és $\varphi$ a $(-\pi ,\pi ]$ illetve (−180°, 180°], vagy a $[0,2\pi )$ illetve [0, 360°) intervallumba esik.

Jegyzetek

↑ Richard Doerfling: Mathematik für Ingenieure und Techniker. Oldenbourg Verlag, Seite 169.
↑ F. W. Schäfke: Einführung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Springer, 1963, ISBN 978-3-642-94867-1, Seite 129.
↑ ^a ^b Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 4. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-34937-9.
↑ ^a ^b Archiválva [Dátum hiányzik] dátummal a(z) www-m8.ma.tum.de archívumban Hiba: ismeretlen archívum-URL. (PDF; 59 kB). Skript an der TU München.

[1] Richard Doerfling: Mathematik für Ingenieure und Techniker. Oldenbourg Verlag, Seite 169.

[2] F. W. Schäfke: Einführung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Springer, 1963, ISBN 978-3-642-94867-1, Seite 129.

[Papula-3] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 4. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-34937-9.

[tum.de-4] Archiválva [Dátum hiányzik] dátummal a(z) www-m8.ma.tum.de archívumban Hiba: ismeretlen archívum-URL. (PDF; 59 kB). Skript an der TU München.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ 29. sor: / 29. sor: @@
 \end{array}
 </math>
+Ezekbe az egyenletekbe bármely <math>r</math>, <math>\theta</math> és <math>\varphi</math> koordináta behelyettesíthető. Ahhoz, hogy a koordináták egyértelműek legyenek, korlátozni kell értékeiket. Általában: <math>r</math> nemnegatív, <math>\theta</math> értéke  <math>[0, \pi]</math> illetve [0, 180°] eleme, és  <math>\varphi</math> a <math>(-\pi,\pi]</math> illetve (−180°, 180°], vagy a <math>[0, 2\pi)</math> illetve [0, 360°) intervallumba esik.
 ==Jegyzetek==