Generátorrendszer (lineáris algebra)

Definíció

Az a₁,…,a_n ∈ V vektorokat a V vektortér generátorrendszerének nevezzük, ha V minden eleme előáll az a_i vektorok lineáris kombinációjaként.

Példák

• minden bázis egyben egy generátorrendszer is,
• maga a V vektortér is generátorrendszer,

Tulajdonságok

Ha egy generátorrendszert további vektorokkal bővítjük, akkor még mindig generátorrendszer marad, azaz egy vektortér generátorrendszerei felszálló halmazrendszert alkotnak.

• Minden véges generátorrendszer tartalmaz bázist.

Ez úgy igazolható, hogy addig hagyunk el elemeket, ameddig lehet.
Az állítás igaz végtelen generátorrendszerekre is, de ekkor a bizonyításhoz a Zorn-lemmát vagy a kiválasztási axióma valamelyik más ekvivalensét kell felhasználni.

Lásd még

• Lineáris algebra
• Lineáris függetlenség
• Lineáris leképezés
• Vektortér