„Csoporthatás” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Vanforrás |
→Forrás: +sablon |
||
43. sor: | 43. sor: | ||
== Forrás == |
== Forrás == |
||
{{Pelikán}} |
{{Pelikán}} |
||
{{Portál|Matematika}} |
|||
[[Kategória:Csoportelmélet]][[Kategória:Permutációk]] |
[[Kategória:Csoportelmélet]] |
||
[[Kategória:Permutációk]] |
|||
A lap 2012. szeptember 21., 13:32-kori változata
A matematikában általában azt mondjuk, hogy egy csoport hat egy téren vagy halmazon, ha a ható csoport megfeleltethető a halmaz transzformációinak valamely részcsoportjával. A csoporthatások egy objektum szimmetriáinak a vizsgálatanak igen hatékony segédeszközéül szolgálnak, ugyanakkor a struktúrák invariánsainak a megkeresésében is kapóra jöhetnek, mint például bizonyos topológikus terek fundamentális csoportjának a kiszámításakor.
Definíció
G csoport (balról) hat X halmazon, ha G minden eleme egy
- bijekció.
G egységeleme X-en az identitás:
Teljesül az alábbi asszociativitás:
Pálya és stabilizátor
Ha G hat X-en, akkor valamely X-beli x pont pályáján, avagy orbitján
halmazt értjük. Ha y rajta van x pályáján, azaz
- , akkor
- , tehát x is rajta van y pályáján.
Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha y rajta van x, és z rajta van y pályáján, akkor z rajta van x pályáján. Figyelembe véve, hogy az egységelem mindent sajátmagába visz, ezek alapján kijelenthetjük, hogy X-et partícionálják a G általi pályák.
Egy X-beli x pont stabilizátorának G azon elemeinek halmazát nevezzük, amelyek x-et fixen hagyják. Nyilvánvaló, hogy tetszőleges x pont stabilizátora részcsoportja G-nek. Tekintsük baloldali mellékosztályait. Legyen , ekkor
Így bármely mellékosztályának tetszőleges két eleme x-et ugyanoda viszi. Most tegyük fel, hogy
- .
Ekkor legyen:
- . Így
- ,
tehát benne van x stabilizátorában, és
- , azaz
- .
Így x stabilizátorának minden mellékosztálya x pályájának egy elemének az ősképe. Ebből következik, hogy indexe x pályájának az elemszáma. Ezt beírva Lagrange tételébe, kapjuk a következő, pálya-stabilizátor tétel néven ismert azonosságot:
- .
Ha két pont stabilizátora konjugált, akkor azt mondjuk, hogy hasonló a pályájuk.
Burnside-lemma
A pálya-stabilizátor tétel hasznos következménye a Burnside-lemma. Ha G csoport hat X halmazon, akkor a csoportbéli transzformációk fixpontjainak az összegét kiszámolhatjuk úgy is, hogy minden pontnál megszámoljuk, hogy hány transzformációnak a fixpontja. Jelölje P a G általi pályák halmazát:
Ezt rendezve kapjuk a Burnside-lemmát:
- ,
ami a bevezetésben foglaltak szerint azt jelenti, hogy egy csoporthatás transzformációi fixpontjainak az átlagos száma éppen a csoport általi pályák száma.
Forrás
Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK