Gauss–Lucas-tétel

A Gauss–Lucas-tétel kapcsolatot teremt egy komplex együtthatós polinom gyökei és deriváltja gyökei között.

A tétel állítása

Ha $P(z)$ egy komplex együtthatós polinom, akkor $P'(z)$ deriváltjának minden gyöke $P(z)$ gyökeinek konvex burkában van (a komplex számsíkon).

A tétel bizonyítása

Legyen $P(z)$ gyöktényezős felbontása

$P(z)=a_{n}(z-r_{1})^{m_{1}}\cdots (z-r_{k})^{m_{k}},$

ahol a különböző $r_{1},\dots ,r_{k}$ gyökök multiplicitásai $m_{1},\dots ,m_{k}$. Ekkor

${\frac {P'(z)}{P(z)}}=\sum _{j=1}^{k}{\frac {m_{j}}{z-r_{j}}}.$

Legyen s $P'(z)$ egy gyöke. Ha $s$ az $r_{1},\dots ,r_{k}$ gyökök valamelyike, az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel tehát, hogy nem közülük való. A fentiek szerint

$\sum {\frac {m_{j}}{s-r_{j}}}=0.$

A nevezőket konjugáltjaikkal megszorozva az adódik, hogy

$\sum a_{j}({\overline {s}}-{\overline {r_{j}}})=0$

ahol

$a_{j}={\frac {m_{j}}{|s-r_{j}|^{2}}}.$

Minden $a_{j}$ pozitív valós szám. Az bal oldal tagjait konjugálva az adódik, hogy

$\sum a_{j}(s-r_{j})=0$

.

Legyen $a=a_{1}+\cdots +a_{k}$. Ekkor azt kapjuk, hogy

$\sum a_{j}r_{j}=as.$

Ha most bevezetjük a $p_{j}=a_{j}/a$ syámokat, akkor egyrészt

$\sum p_{j}r_{j}=s$

másrészt a $p_{j}$-k nemnegatív valós számok amelyek összege 1, tehát $s$ valóban benne van az $r_{j}$-k konvex burkában.