Gauss–Lucas-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A Gauss–Lucas-tétel kapcsolatot teremt egy komplex együtthatós polinom gyökei és deriváltja gyökei között.

A tétel állítása[szerkesztés]

Ha egy komplex együtthatós polinom, akkor minden gyöke gyökeinek konvex burkában van (a komplex számsíkon).

A tétel bizonyítása[szerkesztés]

Legyen gyöktényezős felbontása

ahol a különböző gyökök multiplicitásai . Ekkor

Legyen s egy gyöke. Ha az gyökök valamelyike, az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel tehát, hogy nem közülük való. A fentiek szerint

A nevezőket konjugáltjaikkal megszorozva az adódik, hogy

ahol

Minden pozitív valós szám. A bal oldal tagjait konjugálva az adódik, hogy

.

Legyen . Ekkor azt kapjuk, hogy

Ha most bevezetjük a számokat, akkor egyrészt

másrészt a -k nemnegatív valós számok amelyek összege 1, tehát valóban benne van az -k konvex burkában.