Skalártér

A P(x, y) ↦ x²+y² függvénnyel megadott skalármező ábrázolása

A fizikában a skalártér, más néven skalármező egy-egy skalármennyiséget rendel a tér minden pontjához (ld. függvény). Ha a skalármennyiség nem valódi skalár, hanem pszeudoskalár, akkor a teret pszeudoskalártérnek nevezzük. A tér lehet a szokásos euklideszi tér (másképpen hármastér), de Minkowski-tér (a fizikában másképpen ez a négyestér) is. Például minden ponthoz hozzárendelik az ottani hőmérséklet értékét. A skalármezők a vektoranalízisben is fontosak.

Definíció

Ha a φ(P) függvény a tér vagy egy térrész minden pontjához egy számot (skalárt) rendel, akkor φ(P) skalármező. Matematikai szempontból a skalármező értelmezési tartománya vektortér, vagy annak egy része, de a fizikai alkalmazásokban nem foglalkoznak ezzel.

$P\in \mathbb {R} ^{n}$

$\varphi :\ \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

$P\mapsto \varphi (P)$

Speciálisan n = 2-re:

$P=(x,y)$

$\varphi :\ \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$

$P\mapsto \varphi (P)=\varphi (x,y)$

Speciálisan n = 3-ra:

$P=(x,y,z)$

$\varphi :\ \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

$P\mapsto \varphi (P)=\varphi (x,y,z)$

Fizikai példák skalártérre

• A klasszikus fizikában a potenciálmezők (például gravitációs potenciál), kivéve az időtől is függő potenciálokat.
• További klasszikus fizikai példák a légnyomás, a hőmérséklet, vagy a sűrűség.
• A kvantumtérelmélet a nulla spinű részecskékhez skalárteret rendel.
  • A standard modell Higgs-bozonját skalártér írja le.

Szintfelületek

A P(x, y) ↦ x²+y² függvénnyel megadott skalármező szintvonalai koncentrikus körök

A szintfelületek (nívóhalmazok) azoknak a pontoknak a halmaza, ahol a skalármező értéke állandó. Síkon ($\mathbb {R} ^{2}$) értelmezett skalármező esetén inkább szintvonalakról (nívóvonalakról) beszélnek. A skalármező értelmezési tartományának minden pontján áthalad egy, és csak egy szintfelület. A szintfelületek merőlegesen metszenek minden rajtuk áthaladó felületi görbét.

Példák:

• A meteorológiában az izoterma az azonos hőmérsékletű, az izobár az azonos légnyomású pontokat összekötő görbe.
• A mikroökonómiában egy U hasznossági függvény esetén az azonos hasznosságú jószágkosarakat leíró pontokat összekötő görbét közömbösségi görbéknek hívjuk.
• A térképészetben az azonos tengerszint feletti magasságú pontokat összekötő görbék a szintvonalak.

Operátorok

A skalártérre a következő differenciáloperátorok alkalmazhatók:

• Irány menti derivált
• Gradiens

Integrál

A skalármezőnek felületi integrálja van. Ez az integrál így számítható:

$\int _{S}\phi dS=\int \int _{T}\phi (r(u,v))|r_{u}\times r_{v}|dudv$

ahol φ a skalármező és S a felület.

Green-formula

A skalármezők a Green-formulában is megjelennek.

S egyszerű zárt felület, kifelé irányított normálvektorral. Jelölje V az S által körülzárt térrészt, és legyenek a φ, ψ vektormezők kétszer folytonosan differenciálhatók! Ekkor

$\int \int _{S}(\phi \mathrm {grad} \psi -\psi \mathrm {grad} \phi )dS=\int _{V}(\phi \triangle \psi -\psi \triangle \phi )dV$

ahol $\triangle$ a Laplace-operátor.

Más típusú terek

• vektormező (és axiálvektor-mező)
• tenzormező (és pszeudotenzor-mező)

Források

A Wikimédia Commons tartalmaz Skalártér témájú médiaállományokat.

• BME
• PPKE