Ptolemaiosz-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában, ezen belül az euklideszi geometriában Ptolemaiosz tétele kapcsolatot fejez ki a húrnégyszög oldalai és átlói között. A tétel a híres ókori görög csillagászról és matematikusról, Klaudiosz Ptolemaioszról kapta nevét.

Ha a húrnégyszög 4 csúcsa: A, B, C és D (ebben a sorrendben a szokásos körüljárással jelölve), akkor a tétel állítása a következő:

\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}

ahol a felülvonással jelölt szakaszok a két pont közti távolságokat jelentik.

A tételt szöveggel a következőképpen fogalmazhatjuk meg:

Egy húrnégyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával.

Továbbá a tétel megfordítása is igaz, vagyis:

Ha egy négyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával, akkor a négyszög húrnégyszög.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az aranymetszés arányszámának meghatározása a tétellel
  • Bármilyen négyzet beírható egy körbe, úgy hogy a kör középpontja megegyezik a négyzet átlóinak metszéspontjával. Ha a négyzet oldala a, akkor átlóinak hossza \scriptstyle{\sqrt{2}a} (a Pitagorasz-tételből) és ezt a relációt kapjuk a Ptolemaiosz-tételből is.
  • Téglalap esetén a tétel a Pitagorasz-tételbe megy át. Ha az oldalak a és b, akkor az átlók szorzata c2 = a2 + b2 = aa + bb.
  • Sokkal érdekesebb példa a kapcsolat egy szabályos ötszög a és b hosszú 5 húrja között. Ebben az esetben a Ptolemaiosz tétel segítségével a b2 = a2 + ab egyenlőséget olvashatjuk le, ami az aranymetszéshez vezet.
\varphi = {b \over a} = {{1+\sqrt{5}}\over 2}.
Beírt tízszög oldalai (a c-vel jelölt oldalak)
  • Most az AD átmérő felezze a DC oldalt úgy, hogy DE és EC legyen a beírt szbályos tízszög két c hosszú odala. Ekkor használhatjuk a Ptolemaiosz-tételt az ADEC húrnégyszögre, melynek egyik átlója a d átmérő.
ad=2bc\;
\Rightarrow ad=2\varphi ac, ahol \scriptstyle{\varphi} az aranymetszés aránya
\Rightarrow c=\frac{d}{2\varphi}

ahol a beírt tízszög oldalait felírhatjuk az átmérővel kifejezve. A Pitagorasz-tétel szerint az AED háromszög b oldalát megkaphatjuk az átmérőből, ezután pedig az ötszög a oldalát a következő képlet adja:

a=\frac {b} {\varphi}=b(\varphi-1)\; .

Bizonyítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elemi geometriai bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ptolemy's theorem.svg
  1. Legyen ABCD egy húrnégyszög.
  2. A BC ívhez tartozó két szög ∠BAC = ∠BDC, ugyanígy az AB ívhez tartozó két szög ∠ADB = ∠ACB.
  3. Legyen K az AC szakaszon úgy, hogy ∠ABK = ∠CBD.
  4. Megjegyezzük, hogy ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD.
  5. Mivel a szögeik megegyeznek, ezért △ABK és △DBC hasonló háromszögek, ugyanígy △ABD ∼ △KBC.
  6. Ezért AK/AB = CD/BD, és CK/BC = DA/BD;
    1. Tehát AK·BD = AB·CD, és CK·BD = BC·DA;
    2. Összeadva a két egyenletet, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
    3. De azt tudjuk, hogy AK+CK = AC, vagyis AC·BD = AB·CD + BC·DA; Q.E.D.

Ez a bizonyítás, csak egyszerű húrnégyszögekre igaz, ha a négyszög konkáv, a K pont eshet az AC egyenes szakaszon kívüli részére is. Ekkor AK-CK=±AC adja a helyes eredményt.

Trigonometriai bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elég ha a tételt egy egység sugarú körre bizonyítjuk. Tekintsük a négyszög P1, …, P4 csúcsait derékszögű koordináta-rendszerben. Írjuk fel a csúcsok koordinátáit az origóból a csúcsba mutató helyvektorok α1, … , α4 irányszögei segítségével:

P_i=(\,\cos\alpha_i,\sin\alpha_i \,), ahol \alpha_i \in \,[\,0;2\pi)\, és i=1,...,4\,

A pontokat sorszámozzuk át úgy (ha eredetileg nem úgy lettek volna számozva), hogy a P1, …, P4 pontsorozat az óramutatóval ellentétes körüljárású legyen. Ekkor az irányszögek az index növelésével nőnek:

\,\alpha_1 < \alpha_2 < \alpha_3 <\alpha_4\,.

Fejezzük ki két pont távolságát szögekkel (ez lényegében a húr hosszára vonatkozó ismert képlet). Ha

 P=(\,\cos\alpha,\sin\alpha
\,) és Q=(\,\cos\beta,\sin\beta\,)

két pont, akkor ezek távolsága:

\overline{PQ}=2\sin\left(\frac{|\alpha-\beta|}{2}\right)

Innen a négyszög egymást követő P1P2, … PiPj,… , P4P1 szakaszainak hossza:

\overline{P_i P_j}=2\sin\left({\alpha_j\over 2}-{\alpha_i \over 2}\right).

A Ptolemaiosz-tétel

\overline{P_1P_3}\cdot \overline{P_2P_4}=\overline{P_1P_2}\cdot
\overline{P_3P_4}+\overline{P_1P_4}\cdot \overline{P_2P_3}

aztán a négyzetes relációkból következnek

\sin(\theta_3-\theta_1) \sin(\theta_4-\theta_2) = \sin(\theta_2-\theta_1)\sin(\theta_4-\theta_3) + \sin(\theta_4-\theta_1)\sin(\theta_3-\theta_2)\,

Eleget téve a szinuszfüggvény tulajdonságainak, és használva a trigonometrikus azonosságokat

\sin\alpha\sin\beta={1\over2} \left( \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right)

azonosságot kapjuk.

Összefoglalva:

Bevezetve az eltérés szögeket: \,\delta_i=\theta_{i+1}-\theta_{i}\, ahol \,i=1, \ldots,3\, akkor a relációból

\sin(\theta_4-\theta_2) = \sin(\theta_2-\theta_1)\sin(\theta_4-\theta_3) + \sin(\theta_4-\theta_1)\sin(\theta_3-\theta_2)\,

a következő egyenletet kapjuk

\sin(\delta_1 +\delta_2 )\sin(\delta_2 +\delta_3 ) = \sin(\delta_1)\sin(\delta_3) + \sin(\delta_1+\delta_2+\delta_3)\sin(\delta_2). \,

vagyis:

 \sin(\delta_1+\delta_2+\delta_3) = {{\sin(\delta_1 +\delta_2 )\sin(\delta_2 +\delta_3) - \sin(\delta_1)\sin(\delta_3)}\over {\sin\delta_2}}.

Algebrai bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez egy alternatív bizonyítás, mely a komplex számokat és az analitikus geometriát használja. A négyszög pontjainak adjunk komplex koordinátákat. A tételt ismét egység sugarú körre szeretnénk bebizonyítani, éspedig a komplex egységkörre:

S^1=\{z \in \mathbb{C}, \; z\overline{z}=1\}

A Ptolemaiosz-tétel állítása:

\overline{P_1P_3}\cdot \overline{P_2P_4}=\overline{P_1P_2}\cdot \overline{P_3P_4}+\overline{P_1P_4}\cdot \overline{P_2P_3}

átalakítva:

{{\overline{P_1P_3}\cdot \overline{P_2P_4}}\over{\overline{P_1P_4}\cdot \overline{P_2P_3}}} =1+{{\overline{P_1P_2}\cdot \overline{P_3P_4}}\over{\overline{P_1P_4}\cdot \overline{P_2P_3}}} \ .

Ez a kijelentés „álruhás” alakja következő egyszerűbbnek:

\,\mbox{cr}(z_1,z_2,z_3,z_4)=1- \mbox{cr}(z_1,z_3,z_2,z_4)

ahol cr a köri kettősviszonyt jelöli:

\,\mbox{cr}(z_1,z_2,z_3,z_4)={{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}\over{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}}

bármely négy páronként különböző z1, …, z4 komplex számra.

Hogy explicitté tegyük ezt a kapcsolatot, alakítsuk át a négy szakaszt négy komplex szám (a z1, …, z4) normájává. A pontok sorszáma növekedjen az óramutató járásával ellentétes irányban az egységkörön. Két komplex szám x,y négyzetes távolsága az egységkörön egyenlő

|x-y|^2=(x-y)\cdot(\overline{x}-\overline{y}) = (x-y)\cdot\left({1\over x}-{1\over y}\right) = -{(x-y)^2\over{xy}} \ .

Ennek következtében bármely páronként különböző elemeket tartalmazó (z1, …, z4) komplex számnégyesre az egységkörön, a köri kettősviszony hosszának négyzete:

{{|z_1-z_3|\cdot |z_2-z_4|}\over{|z_1-z_4|\cdot |z_2-z_3|}}

Egy átlagos (komplex szám) köri kettősviszonynak

\,{{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}\over{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}}.

Négyzetgyököt vonva az első egyenletből

{{|z_1-z_3|\cdot |z_2-z_4|}\over{|z_1-z_4|\cdot |z_2-z_3|}}=\epsilon {{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}\over{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}}=\epsilon\, \mbox{cr}( z_1,z_2,z_3,z_4)

Az együtthatók helyzete függ a négy pont relatív elhelyezkedésétől és a köri kettősviszony állandóit felhasználva leírható komplex transzformációkkal:

z \mapsto {{az+b}\over{cz+d}}

Ha feltételezzük hogy a négy pont elhelyezkedése az óramutató járásával ellentétes, akkor

\,\mbox{cr}(z_1,z_2,z_3,z_4)>1.

Ezt a tulajdonságot a

r:\; z \mapsto i{{(1+z)}\over{(1-z)}}

projektív transzformációsegítségével bizonyítjuk (mely a Cayley-transzformáció inverze). Ez utóbbi (folytonosan) leképezi a

S^{1}\setminus \{z=1\}

pontozott egység kört a valós tengelyre (a felső (alsó) ívek az egységkörön a negatív (pozitív) féltengelyre kerülnek).

Polárkoordinátákkal ez az

\,r(e^{ i \alpha})=-\mathrm{ctg}( \alpha /2)

alakban írható, ami egy monoton függvényt definiál, ahol

 \alpha \in (0;2\pi)

Ennek következtében a köri kettősviszony leolvasható a pontok képének közös sorrendjéből a valós tengelyen. Miután megszorozzuk a z_i-t a norma 1 egy megfelelő skalárjával z', továbbá feltételezzük, hogy z_i \ne 1 minden i-re. Ha a négy komplex szám az egységkörön, az óramutató járásával ellentétes irányban van, a négy pont képe

\,(y_1, \ldots, y_4):=(\,r(z_1),r(z_2),r(z_3),r(z_4)\,) eleget tesz a
\, y_1 <y_2 <y_3<y_4

relációnak. Az

\mbox{cr}(y_1,y_2,y_3,y_4)-1={{(y_1-y_3)(y_2-y_4)}\over{(y_1-y_4)(y_2-y_3)}} -1={{(y_1-y_2)(y_3-y_4)}\over{(y_1-y_4)(y_2-y_3)}}>0

összefüggés azt mutatja, hogy

\,\mbox{cr}(z_1,z_2,z_3,z_4)=\mbox{cr}(y_1,y_2,y_3,y_4)>1

Másik oldalról viszont, ha a középső párt, (z_2,z_3)-t megcseréljük a ciklikus sorrend megváltozása miatt a négy pont köri kettősviszonya negatív lesz, ugyanis

\,\mbox{cr}(z_1,z_3,z_2,z_4)=1-\mbox{cr}(z_1,z_2,z_3,z_4)<0

és asználva a köri kettősviszony összefüggést

{{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}\over{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}}=1-{{(z_1-z_2)(z_3
-z_4)}\over{(z_1-z_4)(z_3-z_2)}}.\,

Összefoglalva. Négy páronként különböző, az egységkörön az óramutató járásával ellentétes körüljárási iránnyal rendelkező elemű (z1, …, z4) pontnégyes esetén:

{{|z_1-z_3|\cdot |z_2-z_4|}\over{|z_1-z_4|\cdot |z_2-z_3|}}=+{{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}\over{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}}

és

{{|z_1-z_2|\cdot |z_3-z_4|}\over{|z_1-z_4|\cdot |z_3-z_2|}}=-{{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}\over{(z_1-z_4)(z_3-z_2)}}.\,

Ptolemaiosz-tételét átalakítva

{{\overline{P_1P_3}\cdot \overline{P_2P_4}}\over{\overline{P_1P_4}\cdot \overline{P_2P_3}}} =1+{{\overline{P_1P_2}\cdot \overline{P_3P_4}}\over{\overline{P_1P_4}\cdot \overline{P_2P_3}}}

a köri kettősviszony

{{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}\over{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}}=1-{{(z_1-z_2)(z_3
-z_4)}\over{(z_1-z_4)(z_3-z_2)}}

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]