Ptolemaiosz-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában, ezen belül az euklideszi geometriában Ptolemaiosz tétele kapcsolatot fejez ki a húrnégyszög oldalai és átlói között. A tétel a híres ókori görög csillagászról és matematikusról, Klaudiosz Ptolemaioszról kapta nevét.

Ha a húrnégyszög 4 csúcsa: A, B, C és D (ebben a sorrendben a szokásos körüljárással jelölve), akkor a tétel állítása a következő:

ahol a felülvonással jelölt szakaszok a két pont közti távolságokat jelentik.

A tételt szöveggel a következőképpen fogalmazhatjuk meg:

Egy húrnégyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával.

Továbbá a tétel megfordítása is igaz, vagyis:

Ha egy négyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával, akkor a négyszög húrnégyszög.

Példák[szerkesztés]

Az aranymetszés arányszámának meghatározása a tétellel
  • Bármilyen négyzet beírható egy körbe, úgy hogy a kör középpontja megegyezik a négyzet átlóinak metszéspontjával. Ha a négyzet oldala , akkor átlóinak hossza (a Pitagorasz-tételből) és ezt a relációt kapjuk a Ptolemaiosz-tételből is.
  • Téglalap esetén a tétel a Pitagorasz-tételbe megy át. Ha az oldalak a és b, akkor az átlók szorzata c2 = a2 + b2 = aa + bb.
  • Sokkal érdekesebb, ha egy a oldalú szabályos ötszög tetszőleges 4 csúcsára alkalmazzuk a Ptolemaiosz-tételt. Ebben az esetben a húrnégyszög átlói az ötszög b átlóival egyeznek meg, a négy oldal közül három pedig az ötszög a oldalával, a negyedik pedig az ötszög egyik b hosszúságú átlójával egyezik meg. Így Ptolemaiosz tétele segítségével a b2 = a2 + ab egyenlőséget olvashatjuk le, ami az aranymetszéshez vezet.
Beírt tízszög oldalai (a c-vel jelölt oldalak)
  • Most az AD átmérő felezze a DC oldalt úgy, hogy DE és EC legyen a beírt szabályos tízszög két c hosszú oldala. Ekkor használhatjuk a Ptolemaiosz-tételt az ADEC húrnégyszögre, melynek egyik átlója a d átmérő.
, ahol az aranymetszés aránya

ahol a beírt tízszög oldalait felírhatjuk az átmérővel kifejezve. A Pitagorasz-tétel szerint az AED háromszög b oldalát megkaphatjuk az átmérőből, ezután pedig az ötszög a oldalát a következő képlet adja:

.

Bizonyítások[szerkesztés]

Elemi geometriai bizonyítás[szerkesztés]

Ptolemy's theorem.svg
  1. Legyen ABCD egy húrnégyszög.
  2. A BC ívhez tartozó két szög ∠BAC = ∠BDC, ugyanígy az AB ívhez tartozó két szög ∠ADB = ∠ACB.
  3. Legyen K az AC szakaszon úgy, hogy ∠ABK = ∠CBD.
  4. Megjegyezzük, hogy ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD.
  5. Mivel a szögeik megegyeznek, ezért △ABK és △DBC hasonló háromszögek, ugyanígy △ABD ∼ △KBC.
  6. Ezért AK/AB = CD/BD, és CK/BC = DA/BD;
    1. Tehát AK·BD = AB·CD, és CK·BD = BC·DA;
    2. Összeadva a két egyenletet, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
    3. De azt tudjuk, hogy AK+CK = AC, vagyis AC·BD = AB·CD + BC·DA; Q.E.D.

Ez a bizonyítás, csak egyszerű húrnégyszögekre igaz, ha a négyszög konkáv, a K pont eshet az AC egyenes szakaszon kívüli részére is. Ekkor AK-CK=±AC adja a helyes eredményt.

Trigonometriai bizonyítás[szerkesztés]

Elég ha a tételt egy egység sugarú körre bizonyítjuk. Tekintsük a négyszög P1, …, P4 csúcsait derékszögű koordináta-rendszerben. Írjuk fel a csúcsok koordinátáit az origóból a csúcsba mutató helyvektorok α1, … , α4 irányszögei segítségével:

, ahol és

A pontokat sorszámozzuk át úgy (ha eredetileg nem úgy lettek volna számozva), hogy a P1, …, P4 pontsorozat az óramutatóval ellentétes körüljárású legyen. Ekkor az irányszögek az index növelésével nőnek:

.

Fejezzük ki két pont távolságát szögekkel (ez lényegében a húr hosszára vonatkozó ismert képlet). Ha

és

két pont, akkor ezek távolsága:

Innen a négyszög egymást követő P1P2, … PiPj,… , P4P1 szakaszainak hossza:

A Ptolemaiosz-tétel

aztán a négyzetes relációkból következnek

Eleget téve a szinuszfüggvény tulajdonságainak, és használva a trigonometrikus azonosságokat

azonosságot kapjuk.

Összefoglalva:

Bevezetve az eltérés szögeket: ahol akkor a relációból

a következő egyenletet kapjuk

vagyis:

Algebrai bizonyítás[szerkesztés]

Ez egy alternatív bizonyítás, mely a komplex számokat és az analitikus geometriát használja. A négyszög pontjainak adjunk komplex koordinátákat. A tételt ismét egység sugarú körre szeretnénk bebizonyítani, éspedig a komplex egységkörre:

A Ptolemaiosz-tétel állítása:

átalakítva:

Ez a kijelentés „álruhás” alakja következő egyszerűbbnek:

ahol cr a köri kettősviszonyt jelöli:

bármely négy páronként különböző z1, …, z4 komplex számra.

Hogy explicitté tegyük ezt a kapcsolatot, alakítsuk át a négy szakaszt négy komplex szám (a z1, …, z4) normájává. A pontok sorszáma növekedjen az óramutató járásával ellentétes irányban az egységkörön. Két komplex szám négyzetes távolsága az egységkörön egyenlő

Ennek következtében bármely páronként különböző elemeket tartalmazó (z1, …, z4) komplex számnégyesre az egységkörön, a köri kettősviszony hosszának négyzete:

Egy átlagos (komplex szám) köri kettősviszonynak

.

Négyzetgyököt vonva az első egyenletből

Az együtthatók helyzete függ a négy pont relatív elhelyezkedésétől és a köri kettősviszony állandóit felhasználva leírható komplex transzformációkkal:

Ha feltételezzük hogy a négy pont elhelyezkedése az óramutató járásával ellentétes, akkor

Ezt a tulajdonságot a

projektív transzformációsegítségével bizonyítjuk (mely a Cayley-transzformáció inverze). Ez utóbbi (folytonosan) leképezi a

pontozott egység kört a valós tengelyre (a felső (alsó) ívek az egységkörön a negatív (pozitív) féltengelyre kerülnek).

Polárkoordinátákkal ez az

alakban írható, ami egy monoton függvényt definiál, ahol

Ennek következtében a köri kettősviszony leolvasható a pontok képének közös sorrendjéből a valós tengelyen. Miután megszorozzuk a -t a norma 1 egy megfelelő skalárjával , továbbá feltételezzük, hogy 1 minden -re. Ha a négy komplex szám az egységkörön, az óramutató járásával ellentétes irányban van, a négy pont képe

eleget tesz a

relációnak. Az

összefüggés azt mutatja, hogy

Másik oldalról viszont, ha a középső párt, -t megcseréljük a ciklikus sorrend megváltozása miatt a négy pont köri kettősviszonya negatív lesz, ugyanis

és asználva a köri kettősviszony összefüggést

Összefoglalva. Négy páronként különböző, az egységkörön az óramutató járásával ellentétes körüljárási iránnyal rendelkező elemű (z1, …, z4) pontnégyes esetén:

és

Ptolemaiosz tételét átalakítva

a köri kettősviszony

Források[szerkesztés]