Az x[5]2 kifejezés első három értéke. A 3[5]2 értéke körülbelül 7,626 × 1012; a magasabb x értékek, például a 4[5]2, ami körülbelül 2,361 × 108,072 × 10153, túl nagyok ahhoz, hogy megjelenjenek a grafikonon.
A matematikában a pentáció (vagy hiper-5) a tetráció utáni, de hexáció előtti következő hiperoperáció (végtelen sorozat az aritmetikai műveletekből). Definiálva van úgy, mint az ismételt tetráció (feltételezve a jobbra asszociatív jellegzetességet), éppen úgy, ahogy a tetráció az ismételt jobbra asszociatív hatványozás. Ez egy bináris művelet, két számra, ahol az 'a' önmagával 'b-1' alkalommal tetrált. Például, a pentációra és tetrációra vonatkozó hiperoperációs jelölést használva, azt jelenti, hogy 2-ször tetrázod önmagával a 2-t, vagyis Ezt aztán le lehet redukálni .
A "pentation" szót Reuben Goodstein(wd) találta ki 1947-ben a penta- (öt) és az iterációból. Ez része a hiperműveletek általános elnevezési rendszerének
Kevés az egyetértés a pentáció jelölésével kapcsolatban; mint ilyen, a művelet megírásának sokféle módja van. Néhányat azonban jobban használnak, mint mások, és néhánynak egyértelmű előnyei vagy hátrányai vannak másokhoz képest.
Mivel a tetraciót, annak alapműveletét nem terjesztették ki nem egész magasságra, pentációrajelenleg csak a és b egész értékeire van definiálva, ahol a > 0 és b ≥ -2, valamint néhány egyéb egész értékre, amelyek egyedileg definiálhatók . Mint minden 3-as (hatványozásnál) és magasabb rendű hiperműveletnél, a pentációnak a következő triviális esetei (azonosságai) vannak, amelyek a tartományán belül a és b minden értékére érvényesek :
Ezen kívül a következőket is meghatározhatjuk:
A fent bemutatott triviális eseteken kívül a pentáció rendkívül nagy számokat generál nagyon gyorsan, így csak néhány nem triviális eset van, amely hagyományos jelöléssel írható számokat eredményez, amint az alábbiakban látható:
(Itt iterált exponenciális jelöléssel látható, mivel túl nagy ahhoz, hogy hagyományos jelöléssel lehessen írni.) (egy több mint számjegyből álló szám)
![Az x[5]2 kifejezés első három értéke. A 3[5]2 értéke körülbelül 7,626 × 1012; a magasabb x értékek, például a 4[5]2, ami körülbelül 2,361 × 108,072 × 10153, túl nagyok ahhoz, hogy megjelenjenek a grafikonon.](/wiki/F%C3%A1jl:Pentation.jpg)
![{\displaystyle 2[5]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c3c4f3a4215af3d0aba5d1be34d345eb03d108)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ca481db73e672c49db94005ca4638ee07e9a35)
=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c673c68d309df69047e13bd512ad82471448bd)
![{\displaystyle a[5]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d782af460e582816fb4e49d3907b621dd297d4d3)
![{\displaystyle 1[5]a=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86dd3d4c6c12aba80f975e18e2b64340add941f2)
![{\displaystyle a[5]1=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b09635a9e2ad78029099d065c824340b94ee2c)
![{\displaystyle a[5]2=a[4]a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af77310dd762cc30118f6595813c7b9d8fefd72e)
![{\displaystyle a[5]0=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad5cdf53a1e0c4bd1ee33b75c0375f3c2be4bbe)
=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38979a979502245eb33bd881f3b464e45adfea0)
=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc99b8fb595e98b67463657c9950b4eba96d2cb)
=a[4](a[5]b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09568169f0a8bdbd468ab07f60d1e74c56439a4)
![{\displaystyle 2[5]2=2[4]2=2^{2}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f544aee58a80be2fa1dcdae14cddab48f8b189d9)
![{\displaystyle 2[5]3=2[4](2[5]2)=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb29f9dc74dba7f4a713a28582c90f537827938f)
![{\displaystyle 2[5]4=2[4](2[5]3)=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65,536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 65,536) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c41819210b848db43294a19dda82f879c92dec0)
![{\displaystyle 2[5]5=2[4](2[5]4)=2[4](2[4](2[4](2[4]2)))=2[4](2[4](2[4]4))=2[4](2[4]65,536)=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 2[4]65,536) }}\approx \exp _{10}^{2[4]65,536-3}(4.29508)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227977424727e9a4313595075ee7556b01210f52)
![{\displaystyle 3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a455992a369ea94a39c61963513f4d19b3c7800)
![{\displaystyle 3[5]3=3[4](3[5]2)=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428decd75ac732e6a8bb74b6f10ebf130f4e7040)
![{\displaystyle 3[5]4=3[4](3[5]3)=3[4](3[4](3[4]3))=3[4](3[4]7,625,597,484,987)=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 3[4]7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{3[4]7,625,597,484,987-1}(1.09902)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44619c29439c58475ede02e33e1ac0f3bc6ecef)
![{\displaystyle 4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb9353578126aa7a2e5dbbb93f5587a9f80373a)
![{\displaystyle 5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428de46090279b2771bd9e491bfb0d4886183d53)
