Affin kombináció

Az affin kombináció és a rá épülő affin koordináták fogalma a matematikában az euklideszi geometria egyik ága, az affin geometria algebrai leírására szolgálnak. Az affin geometria, ha a hagyományos euklideszi geometria részeként tárgyaljuk, úgy jelenik meg, mint az egyenestartó transzformációk elmélete – melyek minden egyenest egy neki megfelelő egyenesbe képeznek – (bár mára az affin geometria „kinőtte” euklideszi korlátait, és ezen kívüli részei is vannak). Egyenestartó transzformációk pl. a képszerkesztő programokból talán jól ismert, valamely irányba történő nyújtások . Az efféle affin transzformációk vektoralgebrai eszközökkel is leírhatóak, s eme leírásnak épp az affin kombinációk és az affin koordináták szolgálnak alapként. Néhány vektor affin kombinációja pedig e vektorok súlyozott összege, ahol a súlyok összege 1; a matematikailag pontosabb leírás lentebb olvasható.

Az affin kombináció általános definíciója vektorterekben:

Megjegyzés: használni fogjuk többtagú összeg jelölésére a $\sum _{i=1}^{u}t_{i}:=t_{1}+t_{2}+...+t_{u}\left({\mbox{ahol}}\ u\in \mathbb {N} \right)$ ún. szummajelet, bár a lentiek ennek ismeretétől függetlenül is érthetőek. A szummajel használatáról ld. az összeg címszavunkat.

Legyen adott egy T test feletti $L=\left(T,V,+\right)$ ( $1\in T$ egységelemmel rendelkező) vektortér (lineáris tér).

Ekkor adott

$\left(\alpha _{i}\right)_{i\in (1,2,...n)}=\left(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\right)\in T^{n}$ skalárrendszer és
$\left(a_{i}\right)_{i\in (1,2,...n)}=\left(a_{1},a_{2},...,a_{n}\right)\in V^{n}$ vektorrendszer esetén,
(ahol $n\in \mathbb {N}$ ), a

\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot a_{i}}=\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}+...+\alpha _{n}a_{n}

lineáris kombinációt az adott $a_{i}$ vektorok $\alpha _{i}$ skalárokkal (az együtthatókkal) vett affin kombinációjának nevezik, amennyiben $\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1$ is teljesül.

A fogalomnak jobbára a hagyományos euklideszi geometriában van jelentősége.

Affin kombináció az euklideszi geometriában

A hagyományos $\mathbb {E}$ euklideszi tér is könnyedén vektortér struktúrájúvá tehető, ha rögzítünk egy O pontot, az origót, és tetszőleges $P\in E$ pontot azonosítjuk a ${\underline {p}}={\vec {O\!P}}$ helyvektorral.
A fenti definíció ekkor ilyen alakot ölt:

Definíció: Legyenek adottak a $\left(P_{i}\right)_{i\in (1,2,...n)}=\left(P_{1},P_{2},...,P_{n}\right)\in E^{n}$ pontok. E pontok $\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1$ tulajdonságot kielégítő, $\left(\alpha _{i}\right)_{i\in (1,2,...n)}=\left(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ , skalárokkal képezett affin kombinációja az a $Q\in \mathbb {E}$ pont, amelynek ${\underline {q}}$ helyvektorára teljesül:

{\underline {q}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot {\underline {p}}_{i}}=\alpha _{1}{\underline {p}}_{1}+\alpha _{2}{\underline {p}}_{2}+...+\alpha _{n}{\underline {p}}_{n}

Azaz melyre

{\vec {O\!Q}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot {\vec {O\!P}}_{i}}=\alpha _{1}{\vec {O\!P}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {O\!P}}_{2}+...+\alpha _{n}{\vec {O\!P}}_{n}

teljesül.

Ezt röviden, az O kezdőpont elhagyásával (amire az I. Megjegyzés jogosít fel) így is szokás írni (a:

Q=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot P_{i}}=\alpha _{1}P_{1}+\alpha _{2}P_{2}+...+\alpha _{n}P_{n}

Megjegyzés I.: A fenti definíció tetszőleges véges dimenziós $\mathbb {E}$ euklideszi térre is érvényes.
Megjegyzés II.: Nem nehéz belátni, hogy egy pontrendszer affin kombinációja független a koordináta-rendszertől, azaz az O kezdőpont megválasztásától! Adott pontrendszer adott számokkal való affin kombinációja mint helyvektor nem ugyanonnan bár, de mindig ugyanabba a pontba mutat, akárhogy változtatjuk is az O pontot. Ez azért lehetséges, mivel megköveteltük, hogy az együtthatók összege 1 legyen. Az 1-en kívül nincs olyan valós szám, ami ugyanennek az állításnak eleget tenne.

Belátható, hogy:

Két (különböző) pont összes affin kombinációinak halmaza a két pontot összekötő egyenes (ld. Kiegészítés);
Három nem egy egyenesbe eső pont összes affin kombinációja pedig a három pontra fektethető sík;
Négy nem egy síkban fekvő pont összes affin kombinációja pedig a teljes tér;
- Ráadásul a tér minden pontja egyértelműen áll elő a négy pont egy-egy affin kombinációjaként;
…
Általában pedig az n-dimenziós euklideszi tér minden pontja egyértelműen áll elő n+1 darab „független”, de egyébként tetszőleges pont affin kombinációjaként (függetlenek a pontok, ha semelyik kettő nem esik egybe, semelyik három nem esik egy egyenesre, semelyik négy egy síkba, …, és általában semelyik i + 1 darab nem esik egyszerre egy i térdimenziós altérbe). Lentebb közöljük a bizonyítását ennek.

Ez utóbbi az alapja a térbeli affin koordináták bevezetésének.

Az affin kombináció speciálisabb és jóval érdekesebb esetei a konvex kombinációk, illetve a súlyozott pontrendszerek súlypontjai (Például konvex kombinációkról akkor beszélünk, ha az együtthatók mind nemnegatívak).

Kiegészítés

Két pont affin kombinációi

Tekintsük az $\mathbb {S}$ síkban az ${\underline {a}},{\underline {b}}$ helyvektorokkal adott különböző $A,B\in \mathbb {S}$ pontokat, ekkor, minthogy érvényes ${\underline {a}}+{\vec {A\!B}}={\underline {b}}$ , írható ${\vec {AB}}={\underline {b}}-{\underline {a}}$ . Mármost a vektor számmal való szorzásának definíciója szerint, ha <A,B> jelöli az A,B pontokon átmenő egyenest, akkor $P\in <A,B>\Leftrightarrow {\vec {A\!P}}=\lambda {\vec {A\!B}}$ valamilyen $\lambda \in \mathbb {R}$ valós számmal, azaz

{\vec {A\!P}}=\lambda \left({\underline {b}}-{\underline {a}}\right)

.

Így adható meg az összes, <A,B> egyenesen fekvő P pont helyzete az A-hoz viszonyítva, hogy alkalmazkodjunk az érvényes koordinátarendszerhez és megkapjuk a P pontok helyvektorait, azt kell megnéznünk, hogyan juthatunk az origóból P-be, nos úgy, hogy először elmegyünk az A pontba (a ${\underline {a}}$ vektorral elmozdulva), és aztán az A-ból a P-be (hozzáadjuk az eddigi elmozduláshoz még a ${\vec {A\!P}}$ vektort). Összesen tehát

{\underline {p}}={\underline {a}}+{\vec {A\!P}}={\underline {a}}+\lambda \left({\underline {b}}-{\underline {a}}\right)={\underline {a}}+\lambda {\underline {b}}-\lambda {\underline {a}}=\left(1-\lambda \right){\underline {a}}+\lambda {\underline {b}}

.

Ezzel beláttuk a következőt: egy P pont akkor és csak akkor van rajta az <A,B> egyenesen, ha felírható az A,B pontok helyvektorainak olyan lineáris kombinációjaként, melyben az együtthatók összege 1 ( $\left(1-\lambda \right)+\lambda =1$ ), tehát ha felírható az egyenes e két pontjának affin kombinációjaként.

Véges dimenziós euklideszi tér pontjainak affin előállítása

Valójában hasonló gondolatmenettel lehet belátni az analóg állítást tetszőleges $n\in \mathbb {N}$ véges n-dimenziós $\mathbb {E} ^{n}$ euklideszi térre.

Legyenek adva az $A_{1},A_{2},...,A_{n+1}$ pontok, melyekhez valamelyiket kezdőpontul választva - legyen $A_{k}$ , ahol $k\in \mathbb {N}$ és $1\leq k\leq n+1$ - az ${\underline {a}}_{1}={\vec {A_{k}\!A_{1}}},{\underline {a}}_{2}={\vec {A_{k}\!A_{2}}},...,{\underline {a}}_{n}={\vec {A_{k}\!A_{n}}},{\underline {a}}_{n+1}={\vec {A_{k}\!A_{n+1}}}$ helyvektorok tartoznak. Ez n+1 db. vektor lesz, de mivel az egyik épp a ${\underline {0}}={\underline {a}}_{k}={\vec {A_{k}\!A_{k}}}$ nullvektor, valójában olyan, mintha csak n vektorunk volna (ez csak egy bizonyítástechnikai probléma, a következők érvényességét nem befolyásolja).

Tegyük fel, hogy e pontok - értsd: a megfelelő vektorok, az előbb említett nullvektort beleértve - lineárisan függetlenek, azaz az általuk meghatározott (generált) altér pontosan n-dimenziós, vagyis épp $\mathbb {E} ^{n}$ (ugyanis n-dimenziós térnek nincs valódi n-dimenziós altere, csak önmaga). Tehát minden $P\in \mathbb {E} ^{n}$ pont előáll az adott vektorok lineáris kombinációjaként, mégpedig egyértelműen (s ezen az sem változtat, ha egy ${\underline {a}}_{k}={\underline {0}}$ nullvektort is hozzáírunk a lenti összeghez, $\alpha _{k}=0$ nulla együtthatóval, hogy az együtthatók összege se változzon):

{\vec {A_{k}\!P}}=\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha _{i}{\vec {A_{k}\!A_{i}}}=}\alpha _{1}{\vec {A_{k}\!A_{1}}}+\alpha _{2}{\vec {A_{k}\!A_{2}}}+...+\alpha _{n}{\vec {A_{k}\!A_{n}}}+\alpha _{n+1}{\vec {A_{k}\!A_{n+1}}}

Azaz

{\underline {p}}-{\underline {a}}_{k}=\alpha _{1}\left({\underline {a}}_{1}-{\underline {a}}_{k}\right)+\alpha _{2}\left({\underline {a}}_{2}-{\underline {a}}_{k}\right)+...+\alpha _{n}\left({\underline {a}}_{n}-{\underline {a}}_{k}\right)+\alpha _{n+1}\left({\underline {a}}_{n+1}-{\underline {a}}_{k}\right)=

=\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha _{i}{\underline {a}}_{i}}-\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha _{i}{\underline {a}}_{k}}=\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha _{i}{\underline {a}}_{i}}-{\underline {a}}_{k}\cdot \sum _{i=1}^{n+1}{\alpha _{i}}

Innen, hozzáadva ehhez az egyenlőséghez ${\underline {a}}_{k}$ -t,

{\underline {p}}=\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha _{i}{\underline {a}}_{i}}-{\underline {a}}_{k}\cdot \sum _{i=1}^{n+1}{\alpha _{i}}+{\underline {a}}_{k}=\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha _{i}{\underline {a}}_{i}}+\left(1-\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha _{i}}\right){\underline {a}}_{k}

Ez utóbbi pedig az n-dimenziós tér tetszőleges P pontjának előállítása az ${\underline {a}}_{i}$ vektorok affin kombinációjaként, minthogy az együtthatók összege épp 1 (látható, még az a biztonsági követelmény is fölösleges volt, hogy $\alpha _{k}=0$ legyen).

Lásd még