Lorentz-tényező

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Lorentz-tényező számos speciális relativitáselmélettel kapcsolatos fogalomban szerepel, mint az idődilatáció, hosszkontrakció és a relativisztikus tömeg. A Lorentz-tényező a fénysebesség és az aktuális sebesség közötti összefüggésről szól.

Jelőlése γ.

A Lorentz-tényező Hendrik Lorentz holland fizikus után kapta a a nevét. [1]

\gamma \equiv \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}

ahol:

\beta = \frac{v}{c} a fénysebességhez viszonyított sebesség,
v az a sebesség, melyet abban a vonatkoztatási rendszerben figyelnek meg, ahol az idő: t
τ a ‘helyes’ idő
c a fénysebesség

Megközelítések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Lorentz-tényező kifejtése Taylor-sorban:

\gamma ( \beta ) = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{128} \beta^8 + ...

A γ ≈ 1 + 1/2 β2 közelítés kis sebességeken jelentkező relativisztikus hatás. Ez a közelítés 1% hibát jelent v < 0,4 c sebességnél (120 000 km/s), és 0,1%-on belüli a hiba 66 000 km/s sebesség alatt.

A két egyenlet:

\vec p = \gamma m \vec v
E = \gamma m c^2 \,

Kis sebességeken a Taylor-sor csonkított változata lehetővé teszi, hogy a speciális relativitást newtoni mechanikára redukálja:

γ ≈ 1 és γ ≈ 1 + 1/2 β2, ekkor a newtoni egyenletekre redukálódik:

\vec p = m \vec v
 E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2

A Lorentz-tényező inverz kifejezésben:

\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}

Ennek sorba fejtett formája:

\beta = 1 - \frac{1}{2} \gamma^{-2} - \frac{1}{8} \gamma^{-4} - \frac{1}{16} \gamma^{-6} - \frac{5}{128} \gamma^{-8} + ...


Az első két kifejezés segítségével gyorsan kiszámíthatók a sebességek nagy γ értékektől. A β ≈ 1 - 1/2 γ−2 közelítés 1% hiba alatt van γ > 2 esetén, és 0,1% -n belül, ha γ > 3,5.

Értékek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lorentz-tényező - sebesség

Az ábrán a Lorentz-tényező látható a sebesség függvényében. A sebesség tart 0-tól c-ig.

Sebesség (β = v / c) Lorentz-tényező (γ) Inverz γ
0,0 1,0 1,0
0,5 1,155 0,866
0,999 22,366 0,045

Gyorsaság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha th r = β, akkor γ = ch r. Itt az r, a hiperbolikus szög, gyorsaságként ismert a relativitáselméletben.[2] A Lorentz-transzformációt alkalmazva látható, hogy a gyorsaság additív, a sebesség viszont nem. Így a gyorsaság paraméter egy úgynevezett - fizikai modelleknél használatos - egyparaméteres csoportot alkot. Szuperlumináris mozgások tárgyalásánál γ–t néha Γ-val jelölik. A Lorentz-tényező szerepel a idődilatáció, a hosszkontrakció és a relativisztikus tömeg tárgyalásakor a speciális relativitáselméletben. A hossza rövidebbnek mérhető, mely a helyi hossz osztva γ-val. A részecskefizikában a gyorsaságot a következőképpen definiálják: [3])

y = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{E+p_L}{E-p_L}\right)

Levezetés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Einstein speciális relativitáselméletének egyik alapvető posztulátuma az, hogy minden inercia rendszerben a megfigyelő ugyanazt a sebességet méri a fény esetében, függetlenül az ő relatív mozgásától.

Legyen két megfigyelő (A és B): Az első, A, állandó v sebességgel utazik a másik megfigyelő(B) vonatkoztatási rendszeréhez viszonyítva, ahol B megfigyelő nyugalomban van. A egy lézersugarat irányít “felfelé” ((merőlegesen az utazás vonalára). B perspektívájából a fény szögben érkezik be. Egy t_B, idő után, A d = v t_B távot utazott be; a fény (szintén B szemszögéből) d = c t_B távot tett meg egy bizonyos szögben. A fény d_t komponense a Pitagorász-tétel alapján:

d_t = \sqrt{(c t  _B)^2 - (v t_B)^2}
d_t = c t _B\sqrt{1 - {\left(\frac{v}{c}\right)}^2}

A távolság, melyet A lát, a fény útja: d_t = c t_A

ct_A = ct_B \sqrt{1 - {\left(\frac{v}{c}\right)}^2}

majd egyszerűsítve:

t_A = t_B\sqrt{1 - {\left(\frac{v}{c}\right)}^2}

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. One universe, by Neil deGrasse Tyson, Charles Tsun-Chu Liu, and Robert Irion.
  2. Kinematics, by J.D. Jackson, See page 7 for definition of rapidity.
  3. Introduction to High-Energy Heavy-Ion Collisions, by Cheuk-Yin Wong, See page 17 for definition of rapidity.