Lorentz-tényező

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Lorentz-tényező számos speciális relativitáselmélettel kapcsolatos fogalomban szerepel, mint az idődilatáció, hosszkontrakció és a relativisztikus tömeg. A Lorentz-tényező a fénysebesség és az aktuális sebesség közötti összefüggésről szól.

Jelölése γ.

A Lorentz-tényező Hendrik Lorentz holland fizikus után kapta a nevét.[1]

ahol:

a fénysebességhez viszonyított sebesség,
v az a sebesség, melyet abban a vonatkoztatási rendszerben figyelnek meg, ahol az idő: t
τ a ‘helyes’ idő
c a fénysebesség

Megközelítések[szerkesztés]

A Lorentz-tényező kifejtése Taylor-sorban:

A γ ≈ 1 + 1/2 β2 közelítés kis sebességeken jelentkező relativisztikus hatás. Ez a közelítés 1% hibát jelent v < 0,4 c sebességnél (120 000 km/s), és 0,1%-on belüli a hiba 66 000 km/s sebesség alatt.

A két egyenlet:

Kis sebességeken a Taylor-sor csonkított változata lehetővé teszi, hogy a speciális relativitást newtoni mechanikára redukálja:

γ ≈ 1 és γ ≈ 1 + 1/2 β2, ekkor a newtoni egyenletekre redukálódik:

A Lorentz-tényező inverz kifejezésben:

Ennek sorba fejtett formája:

Az első két kifejezés segítségével gyorsan kiszámíthatók a sebességek nagy γ értékektől. A β ≈ 1 - 1/2 γ−2 közelítés 1% hiba alatt van γ > 2 esetén, és 0,1% -n belül, ha γ > 3,5.

Értékek[szerkesztés]

Lorentz-tényező - sebesség

Az ábrán a Lorentz-tényező látható a sebesség függvényében. A sebesség tart 0-tól c-ig.

Sebesség (β = v / c) Lorentz-tényező (γ) Inverz γ
0,0 1,0 1,0
0,5 1,155 0,866
0,999 22,366 0,045

Gyorsaság[szerkesztés]

Ha th r = β, akkor γ = ch r. Itt az r, a hiperbolikus szög, gyorsaságként ismert a relativitáselméletben.[2] A Lorentz-transzformációt alkalmazva látható, hogy a gyorsaság additív, a sebesség viszont nem. Így a gyorsaság paraméter egy úgynevezett - fizikai modelleknél használatos - egyparaméteres csoportot alkot. Szuperlumináris mozgások tárgyalásánál γ–t néha Γ-val jelölik. A Lorentz-tényező szerepel a idődilatáció, a hosszkontrakció és a relativisztikus tömeg tárgyalásakor a speciális relativitáselméletben. A hossza rövidebbnek mérhető, mely a helyi hossz osztva γ-val. A részecskefizikában a gyorsaságot a következőképpen definiálják:[3])

Levezetés[szerkesztés]

Einstein speciális relativitáselméletének egyik alapvető posztulátuma az, hogy minden inercia rendszerben a megfigyelő ugyanazt a sebességet méri a fény esetében, függetlenül az ő relatív mozgásától.

Legyen két megfigyelő (A és B): Az első, A, állandó v sebességgel utazik a másik megfigyelő(B) vonatkoztatási rendszeréhez viszonyítva, ahol B megfigyelő nyugalomban van. A egy lézersugarat irányít “felfelé” ((merőlegesen az utazás vonalára). B perspektívájából a fény szögben érkezik be. Egy , idő után, A távot utazott be; a fény (szintén B szemszögéből) távot tett meg egy bizonyos szögben. A fény komponense a Pitagorasz-tétel alapján:

A távolság, melyet A lát, a fény útja:

majd egyszerűsítve:

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. One universe, by Neil deGrasse Tyson, Charles Tsun-Chu Liu, and Robert Irion.
  2. Kinematics, by J.D. Jackson, See page 7 for definition of rapidity.
  3. Introduction to High-Energy Heavy-Ion Collisions, by Cheuk-Yin Wong, See page 17 for definition of rapidity.