Legendre-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Asszociált Legendre-függvény

A Legendre-függvény, Pλ, Qλ, és az asszociált Legendre-függvények Pμλ, Qμλ, a Legendre-polinomok általánosításai.[1]

A Legendre-függvényt az elméleti fizikában alkalmazzák, különösen a kvantummechanika és az elektrodinamika területén.

Adrien-Marie Legendre francia matematikus után kapta a nevét.

Differenciálegyenlet[szerkesztés]

Az asszociált Legendre-függvények a Legendre-függvény megoldásai:

ahol λ és μ komplex számok, az asszociált Legendre-függvények jellemzői (fokozat, rend/faj). A Legendre-polinomok a μ=0 fajú asszociált Legendre-függvények. Ez egy másodrendű lineáris egyenlet, három reguláris szinguláris ponttal (1, -1, és ∞).

Mint minden hasonló egyenlet, átalakítható hipergeometrikus differenciálegyenletté, a változók cseréjével, és megoldásai a hipergeometrikus függvények felhasználásával adhatók meg.

Definíció[szerkesztés]

Ezeket a függvényeket általános komplex paraméterekkel és argumentummal lehet definiálni:

ahol a gamma-függvény és a hipergeometrikus függvény.

A másodrendű differenciálegyenletnek van egy második megoldása, , :

Integrálos ábrázolás[szerkesztés]

A Legendre-függvény felirható kontúr integrálokként is. Például:


Ahol a kontúr körök az 1, és z pontok körül pozitív irányban, és nem a -1 körül értelmezendők. Valós x –re, kapjuk:


Legendre-függvény, a harmonikus analízisben[szerkesztés]

valós integrálos ábrázolása, igen hasznos a harmonikus analízisében, ahol , a dupla coset-tere (lásd zónás gömb-függvény).

Fourier-transzformáltja:

ahol


Irodalom[szerkesztés]

  • Dunster, T. M. (: "Legendre and Related Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions. (hely nélkül): Cambridge University Press. 2010. 109–113. o. ISBN 9780521192255  
  • Snow, Chester. (: Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory. (hely nélkül): National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, Washington, D.C.: U. S. Government Printing Office. 1952. 109–113. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]