Lambert–Beer-törvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából


A Lambert–Beer-törvény (nevezik Bouguer–Lambert–Beer-törvénynek is, de az irodalomban megtalálható a három név szinte minden variációja) egy optikai tapasztalati összefüggés, amely a fény abszorpciója és azon közeg tulajdonságai között teremt kapcsolatot, melyben a fény terjed.

Egyenletek[szerkesztés]

A törvény szerint exponenciális összefüggés van a T transzmittancia (az anyagon áteső fény hányada) illetve az anyag α abszorpciós együtthatójának és a fény által az anyagban megtett távolságnak (a fényút hosszának) a szorzata között. Az abszorpciós együttható felírható az elnyelő közeg ε moláris abszorpciós együtthatójának és az abszorbeáló részecskék c koncentrációjának szorzataként, vagy mint az abszorbens σ abszorpciós keresztmetszetének és N (részecske)sűrűségének szorzata.

Folyadékokra ezeket az összefüggéseket többnyire az alábbi alakban alkalmazzák:

míg gázokra – különösen a fizikában, valamint a spektroszkópiában és spektrometriában – általában a következő formában használatos:

ahol és rendre a beeső, illetve az anyagon áthaladt fény intenzitása vagy energiája.

Az abszorbancia és a transzmittancia közötti kapcsolat:

melyet gázokra többnyire az alábbi módon definiálnak:

A fentiek alapján az abszorbancia és a koncentráció között egyenes arányosság van:

és

Vagyis ha ismert az optikai úthossz és a moláris abszorbancia (vagy abszorpciós keresztmetszet), és mérjük az abszorbanciát, akkor az anyag koncentrációja (részecskesűrűsége) meghatározható.

Habár a fenti kifejezések közül többre is mint Lambert–Beer-törvényre hivatkoznak, szigorúan véve csak az utolsó kettőt tekinthetjük annak. Történetileg ugyanis a Lambert-törvény szerint az abszorbancia arányos az úthosszal, míg a Beer-törvény szerint az abszorbancia arányos az abszorbeáló anyag koncentrációjával.[1]

Ha a koncentrációt móltörtben, azaz dimenzió nélküli egységben fejezzük ki, akkor a moláris abszorbancia (ε) dimenziója ugyanaz lesz, mint az abszorpciós együtthatóé, azaz reciprok hosszúság (pl. cm–1). Amennyiben a koncentráció mol/térfogat egységben van megadva, akkor a(z ε) moláris abszorbancia mértékegysége dm3·mol–1·cm–1, vagy a térfogatokkal egyszerűsítve néha mol–1·cm2.

Az elektromágneses hullámok abszorpciójának egyik leírási módja az α' abszorpciós együttható. α' kifejezhető például a törésmutató κ képzetes része és a fény (vákuumban mért) λ0 hullámhossza segítségével:

Az abszorpciós molekula spektroszkópiában a σ abszorpciós keresztmetszetet az S vonalerősség és a (területre normalizált) Φ vonalalakfüggvény formájában fejezik ki. A molekula spektroszkópiában a frekvencia skálát gyakran cm–1-ben adják meg, a vonalalakfüggvényt pedig 1/cm–1 egységben fejezik ki, ami első látásra furcsának tűnik, bár szigorúan véve helyes. Mivel N 1/cm3 egységben megadott részecskesűrűség, a vonalerősséget gyakran cm2cm–1/molekula egységben fejezik ki. Kisebb molekulák, mint pl. a CO vagy CO2 1,5 μm körüli vonalának rezgési felharmonikus sávja esetén a tipikus vonalerősség kb. 10–23 cm2cm–1, bár az intenzív átmenettel rendelkező vegyületekben – például az acetilénben (C2H2) – nagyobb is lehet. A nagy adatbázisokban, pl. a HITRAN-ban számos átmenet vonalerőssége megtalálható. Kis nyomáson, amikor az átmenet Doppler-kiszélesedést mutat, a vonalalakfüggvény értéke többnyire néhány 1/cm–1, legfeljebb 10/cm–1 körüli, míg atmoszferikus nyomáson – amikor az ütközési kiszélesedés a meghatározó – ennél kisebb. Szokásossá vált a vonalerősséget cm–2/atm egységben kifejezni, mivel így a koncentráció atm nyomásegységben adható meg. A tipikus vonalerősség ilyenkor általában 10–3 cm–2/atm nagyságrendbe esik. Ilyen feltételek mellett egy adott módszer kimutatási képességét többnyire ppm·m egységben közlik.

Mivel az abszorbanciának két definíciója is van (10-es vagy e alapú logaritmussal), ezért gázok esetén az A' abszorbancia és az α' abszorpciós együttható ln 10-szer (kb. 2,3-szor) nagyobb, mint a folyadékok megfelelő A és α értékei. Az adatok értékelésénél emiatt figyelni kell arra, hogy a törvény megfelelő formáját használjuk.

Nagyon nagy koncentrációk esetén a törvény már nem pontos, különösen akkor, ha az anyag erősen szórja a fényt. Rendkívül intenzív fény alkalmazásakor a nemlineáris optikai folyamatok is okozhatnak eltéréseket.

Levezetés[szerkesztés]

Tegyük fel, hogy a részecskék leírhatók úgy, hogy az oldaton áthaladó fény útjára merőleges σ abszorpciós keresztmetszettel (azaz területtel) rendelkeznek, oly módon, hogy a foton elnyelődik, ha nekimegy a részecskének, és továbbhalad, ha nem találja el.

Legyen z a fény fotonjainak haladási irányával párhuzamos tengely, A és dz pedig annak a 3 dimenziós térrésznek a felülete és (z tengely menti) vastagsága, amelyen a fény áthalad.

Feltételezzük, hogy dz elegendően kicsi ahhoz, hogy az ebben a térrészben levő részecske a z tengely irányából nézve ne takarjon el más részecskéket. A részecskék számát jelölje N.

Ebből következik, hogy az ebben a térrészben elnyelődő fotonok aránya megegyezik az itt található részecskék σ A N dz átlátszatlan felületének és a térrész A felületének hányadosával, azaz σ N dz-vel. Az elnyelt fotonok számát dIz-vel, a térrészbe eső összes foton mennyiségét Iz-vel jelölve, az elnyelt fotonok arányára felírható, hogy:

Ennek az egyszerű differenciálegyenletnek a megoldásához mindkét oldalt integráljuk, így z függvényében megkapjuk Iz-t:

A fényintenzitás különbsége valós ℓ vastagságú réteg esetén z = 0-nál I0, z = ℓ-nél I. A fenti egyenletbe behelyettesítve az intenzitások különbsége:

átrendezve és exponenciális formára hozva:

Ez alapján

és

Tanulságos átgondolni a fenti levezetésben tett egyik implicit feltételezésből adódó hiba következményeit, nevezetesen azt, hogy minden abszorbeáló részecske egymástól függetlenül lép kölcsönhatásba a fénnyel. Ez nem teljesül, ha a részecskék hatnak egymásra, mert ugyanazon fényútban helyezkednek el, és némelyik részecske mások árnyékában található. Az eredeti feltételezés csak nagyon híg oldatok esetén teljesül megfelelő pontossággal, a koncentráció vagy a rétegvastagság növelésével egyre nagyobb lesz az eltérés.

A gyakorlatban a feltételezés pontossága 1-es abszorbanciáig ( nagyobb, mint a legtöbb spektroszkópiai berendezéssel elérhető pontosság, és az ebben a tartományban mért abszorbancia és a fényelnyelő anyag oldatbeli koncentrációja között jó közelítéssel lineáris kapcsolat van. Nagyobb abszorbanciáknál a koncentrációt – a fent leírt árnyékolási hatás miatt – alulbecsüljük. Ez kiküszöbölhető, ha az abszorbancia és a koncentráció között nem lineáris összefüggést használunk.

Előfeltételek[szerkesztés]

A Beer-törvény érvényességéhez legalább öt feltételnek teljesülnie kell. Ezek a következők:

  1. Az abszorbeáló részecskéknek egymástól függetleneknek kell lenniük;
  2. Az abszorbeáló közeg eloszlásának egyenletesnek kell lennie a vizsgált térfogatban, és nem szórhatja a fényt;
  3. A beeső fénynek párhuzamos sugarakból kell állnia, és minden sugárnak ugyanakkora utat kell megtennie az elnyelő közegben;
  4. A beeső fénynek lehetőleg monokromatikusnak, vagy legalábbis sokkal kisebb sávszélességűnek kell lennie, mint amekkora az abszorpciós átmenet sávszélessége; és
  5. A beeső fényáram nem hathat az atomokra vagy molekulákra, a vizsgálandó részecskének csak a változást nem okozó kimutatására lehet képes. A fény különösen nem okozhat optikai telítést vagy pumpálást, mivel ezek a hatások csökkentik az alacsonyabb energiaszintű állapot betöltöttségét és indukált emissziót eredményezhetnek.

Amennyiben a fenti feltételek nem teljesülnek, akkor eltérést fogunk tapasztalni a Lambert–Beer-törvénytől.

Kémiai analízis[szerkesztés]

A Beer-törvény felhasználásával anélkül lehet elegyeket spektrofotometriásan vizsgálni, hogy bonyolultabb mintaelőkészítésre lenne szükség. Ilyen alkalmazás például a bilirubin meghatározása a vérplazmában. A tiszta bilirubin spektruma és így a moláris abszorbanciája is ismert. Az egyik mérést olyan hullámhosszon végezzük, amely csaknem egyedi a bilirubinra nézve, és egy másik hullámhosszon kapott eredmény segítségével figyelembe tudjuk venni az esetleges zavaró hatásokat. A koncentráció az alábbiak szerint számítható: c = Akorrigált / ε.

Összetettebb példaként tekintsünk egy két komponenst tartalmazó oldatot, melyek koncentrációja c1 és c2. Egységnyi rétegvastagság esetén az abszorbancia tetszőleges λ hullámhosszra:

Következésképp ha két hullámhosszon végzünk mérést, akkor két egyenletet kapunk két ismeretlennel, melyekből a c1 és c2 koncentrációk kiszámolhatók, ha a két komponens ε1 és ε2 moláris abszorbanciáját mindkét hullámhosszon ismerjük. A gyakorlatban érdemesebb a két koncentrációt több hullámhosszon végzett mérésből meghatározni a legkisebb négyzetek módszerével. Kettőnél több komponensű rendszerek is hasonlóan vizsgálhatók legalább n hullámhosszon végzett mérés segítségével, ahol n az elegy komponenseinek száma.

Lambert–Beer-törvény az atmoszférában[szerkesztés]

A törvény alkalmazható a Napból vagy csillagokból érkező sugárzás légkörben történő gyengülésének leírására. Ebben az esetben a sugárzás szóródása és abszorpciója is bekövetkezik. A Lambert–Beer-törvényt az atmoszférára általában a következőképpen írják fel:

ahol a tagok optikai vastagságot jelölnek, melynek alsó indexe azonosítja az abszorpció vagy szórás forrását:

  • az (abszorpciót és szóródást okozó) aeroszolokra utal
  • az egyenletes eloszlású gázok (főként szén-dioxid () és molekuláris oxigén (), melyek csak abszorbeálnak)
  • nitrogén-dioxid, főként a városi légszennyezés miatt (csak abszorbeál)
  • a vízgőz abszorpciója
  • az ózon hozzájárulása (csak abszorpció lép fel)
  • a molekuláris oxigén () és nitrogén () által okozott Rayleigh-szórás (ez okozza az ég kék színét).

az optikai tömeg vagy légtömeg tényező, mely (kis és közepes θ érték esetén) közelítőleg egyenlő -val, ahol θ a megfigyelt objektum zenitszöge (a megfigyelőhelyen a Föld felszínére állított merőlegessel bezárt szöge).

Ez az egyenlet felhasználható az aeroszolok optikai vastagságának meghatározására, mely a műholdképek korrekciójához szükséges, de az aeroszoloknak a klíma alakításában játszott szerepének megértéséhez is fontos.

Megjegyzendő, hogy amennyiben a fény útja az atmoszférán keresztül vezet, az abszorbeáló gáz koncentrációja nem állandó, ezért az eredeti egyenletet az alábbiak szerint módosítani kell:

ahol z az atmoszférában megtett út hossza, a többi szimbólum megegyezik a fent megadottakkal.[2] Ezt a tényezőt a fenti atmoszféra egyenlet minden egyes tagjában figyelembe vesszük.

Története[szerkesztés]

A törvényt Pierre Bouguer ismerte fel 1729 előtt. Gyakran – tévesen – Johann Heinrich Lambert-nek tulajdonítják, aki 1760-as „Photometria” című könyvében Bouguer „Essai d'Optique sur la Gradation de la Lumiere” (Claude Jombert, Paris, 1729) művére hivatkozott, és idézett is belőle. Jóval később, 1852-ben August Beer kiterjesztette az exponenciális abszorpciós törvényt, hogy az abszorpciós együttható tartalmazza az oldatok koncentrációját is.

Külső hivatkozások[szerkesztés]


Hivatkozások[szerkesztés]

  1. J. D. J. Ingle and S. R. Crouch, Spectrochemical Analysis, Prentice Hall, New Jersey (1988)
  2. ISBN 0-521-33956-1 Houghton, J.T. The Physics of Atmospheres 2nd ed. Chapter 2

Lásd még[szerkesztés]