Ugrás a tartalomhoz

L’Hôpital-szabály

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(L'Hospital-szabály szócikkből átirányítva)

A matematikai analízisben L’Hôpital-szabálynak (ejtsd: [lopitál]) nevezik (egyik leírójának, Guillaume de L’Hôpital francia matematikusnak nevéből) a határérték-számítás egyik módszerét. Segítségével és a differenciálszámítás felhasználásával sok esetben kiszámítható a határérték akkor is, ha a függvényműveletek kritikus alakú határértékhez (például , stb.) vezetnek, azaz ha egyszerű határérték-számítási szabályok nem adnak eredményt.

Ilyen esetekben a L’Hôpital-szabály szerint érdemes a függvényt hányadosként felírni, és ha mind a számláló, mind a nevező differenciálható, továbbá a deriváltak hányadosának van határértéke a vizsgált helyen véve, akkor ezzel a határértékkel megegyezik a keresett határérték.

A szabályt Bernoulli-L’Hôpital-szabálynak is nevezik. A leíró matematikus családneve többféle írásmódban előfordul: L’Hôpital, L’Hôspital, L’Hospital.

A szabály alapgondolata

[szerkesztés]

Egy algebrai tört határértékproblémája esetén, például a

határérték esetén a kritikus alak eltűnik, ha az (x-1) polinomot kiemeljük a számlálóból is és a nevezőből is (hiszen mindegyiknek gyöke az 1 szám). Ekkor behelyettesítéssel már kiszámíthatóvá válik a határérték:

Bonyolultabb függvényeknél, hasonló esetben, például a

határértéknél a fenti módon nem tudjuk megszüntetni a 0-val való osztást. Hogy mód nyíljon valamiféle egyszerűsítésre esetünkben is, írjuk fel a függvényeket hatványsor alakban, azaz Taylor-sor formájában, így hasonlatosakká válnak a polinomokhoz.

Rögzített x szám esetén a sorok összegének homogén tulajdonsága folytán kiemeltük x-et, majd a törtet egyszerűsítettük. Ekkor a határértékképzés és az összegzés felcserélhetősége miatt adódik, hogy:

Tekintve, hogy a sor konstans tagja tűnt el és az elsőfokú tag együtthatója jelent meg konstansként, a hányados határértéke a deriváltak határértéke lett (hiszen a Taylor-sor elsőfokú tagjának együtthatója nem más, mint a függvény adott pontbeli deriváltja).

Az egyszerű L’Hôpital-szabály

[szerkesztés]

Nem kell feltennünk, hogy a függvény (mint az előző példában is) analitikus legyen. Elegendő a differenciálhatóság megkövetelése.

Tétel (Egyszerű L’Hôpital-szabály) Legyen f és g olyan valós-valós függvény és u olyan pont, hogy f és g differenciálható u-ban, de g'(u) nem 0 és legyen u torlódási pontja az f/g függvény értelmezési tartományának. Ha f(u) = g(u) = 0, akkor f/g-nek létezik határértéke u-ban és

Bizonyítás. Mind f, mind g a differenciálhatóság definíciója alapján felírható az u pont körül a következő alakban:

ahol ε és η az u pontban folytonos és ott eltűnő függvények. Tetszőleges x pontra az f/g értelmezési tartományából felírható a következő hányados:

hiszen f(u) = g(u) =0 és x-u-val egyszerűsíthetünk. Ekkor az ε és η u-beli 0 határértékei folytán:

A L’Hôpital-szabály ismételt alkalmazása

[szerkesztés]

Előfordulhat, hogy u-ban a deriváltak is nullával egyenlők. Ekkor a L’Hôpital-szabályt újból kell alkalmaznunk. Ha például f és g n+1-szer differenciálható u-ban, de egészen az n-edik deriváltig az összes magasabb rendű derivált 0, akkor (a szabály feltételeinek teljesülése esetén):

Példa: Legyen minden valós x-re. Ekkor a szabályt négyszer kell alkalmazni -ra ahhoz, hogy fény derüljön a határértékre (amely 1/12).

Erős L’Hôpital-szabály

[szerkesztés]

Tétel (Erős L’Hôpital-szabály) Ha nyílt intervallum, u az torlódási pontja, az f és g függvények \ {u}-n értelmezett n+1-szer differenciálható függvények, g(n+1) nem veszi föl a 0 értéket és minden k = 0,…,n számra limuf (k) = limug(k) = 0, továbbá létezik a , akkor létezik az alábbi határérték és a következővel egyenlő: